《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 t n e ( ) 1 +2 + + = 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 − − n− n n n n t n e ( ) 1 +2 + + = − j i n i j 1 ( ) 0 故解组(4.22)线性无关
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 若 (i 1,2, ,n)均为实数, i = t n t t n x t c e c e c e = + ++ 1 2 1 2 ( ) , , . 其中c1 c2 cn 是任常数 则(4.22)是方程(4.19)的基本解组,从而(4.19)的通解为 若 (i 1,2, ,n)中有复数, i = 则因方程的系数实常数,复根将成对共轭出现, , , 设1 = +i是特征根 则2 = −i也是特征根 相应方程(4.19)有两个复值解, (cos sin ), ( ) e e t i t i t t = + + (cos sin ); ( ) e e t i t i t t = − −
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解,这样,对 方程的一对共轭复根: , 1 = i 由此求得(4.19)的两个实值解为 e cos t, t e sin t; t (2) 特征根是重根的情形 设特征方程(4.21)有k重根 = 1 ,则有 ( ) ( ) ( ) 0, 1 ( 1) 1 ' 1 = = = = − k F F F ( ) 0; 1 ( ) k F 下面分1 = 0和1 0两种情形加以讨论
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) 0 a 设1 = 0; an−k 特征方程有如下形式 0, 1 + 1 + + − = − k n k n n a a 而对应方程(4.19)变为 0 1 1 + 1 + + − = − − k k n n k n n n dt d x a dt d x a dt d x 1, , , , , ; 显然它有k个解 t t 2 t k−1 且它们是线性无关的 (4.19) 1, , , , ; : (4.21) 2 k−1 k t t t k 方程 的 个线性无关的解 从而可得 特征方程 的 重零根对应着 则特征方程有因子 k ,因此0, an = an−1 == an−k+1 =
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (b) 设1 0 作变换x = ye 1 t 并把它代入方程(4.19),经整理得 t t n n n n n t b y e L y e dt d y b dt d y L ye 1 1 1 [ ] ( ) [ ] 1 1 1 1 = + + + = − − 于是方程(4.19)化为 [ ] 0, (4.23) 1 1 1 = + 1 + + = − − b y dt d y b dt d y L y n n n n n , , , , 其中b1 b2 bn 仍为常数 方程(4.23)相应特征方程为 ( ) 0, (4.24) 1 1 = + 1 + + − + = − n n n n G b b b