2复指数函数定义 z(t)=e =e(α+) =e"(cos βt +isin βt)cos βt=(eip +e-ipl)2欧拉公式：eiprsin βt =2i性质：e(ki+h2)t=ektekteh =eh, (2)(1)dndkt= kelt, (4)kt(3)3eAeehdtdtnA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 复指数函数 ( ) (cos sin ) ( ) z t e e e t i t kt i t t = = = + + 欧拉公式: ( ) 2 1 cos i t i t t e e − = + ( ) 2 1 sin i t i t e e i t − = − 性质: 定义 (1) , kt kt e = e (2) , 1 2 1 2 (k k )t k t k t e = e e + (3) , kt kt e k e dt d = (4) , kt n kt n n e k e dt d =
3复值解dn-lxd"x+a,(t)(4.1)..+a.(t)x=f(t)dtn-1dtnd"xdn-"x(4.2)+a,(t)...+a,(t)x=0dtn-1dt"(1)定义定义于区间a≤t≤b上的实变量复值函数z(),称为方程（4.1）的复值解，如果dn-lz(t)d"z(t)+a,(t)+...+a,(t)z(t)=f(t)dtn-1dt"对于a≤t≤b恒成立《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3 复值解 ( ) ( ) ( ) (4.1) 1 1 1 a t x f t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = − − (1)定义 称为方程 的复值解 如果 定义于区间 上的实变量复值函数 (4.1) , a t b z(t), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a t z t f t dt d z t a t dt d z t n n n n n + + + = − − 对于a t b恒成立. ( ) ( ) 0 (4.2) 1 1 + 1 + + = − − a t x dt d x a t dt d x n n n n n
d'x例如，x=e"是方程+x=0的复值解dt?如果方程（4.2)的所有系数a（t）（i=1,2,.,n）(2)定理8都是实值函数，而x=z(t)=o(t)+i(t)是方程的复值解，则z(t）的实部o(t）和虚部(t)及z(t）的共轭复数z(t）也都是方程（4.2）的解《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (2)定理8 (4.2) . , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) (4.2) ( )( 1,2, , ) 也都是方程 的解 解 则 的实部 和虚部 及 的共轭复数 都是实值函数 而 是方程的复值 如果方程 的所有系数 z t t t z t z t x z t t i t ai t i n = = + = 例如， 是方程 2 0的复值解 2 = + x = dt d x x e i t
具体内容来复值函数与复值解来常系数齐次线性微分方程和欧拉方程来非齐次线性微分方程的解法：比较系数法和拉普拉斯变换法来应用分析：质点振动金教学课件《常微分方程》广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 具体内容 复值函数与复值解 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 非齐次线性微分方程的解法： 比较系数法和拉普拉斯变换法 应用分析：质点振动
若方程(3）定理9d"xdn-x+a(t)...+a,(t)x=u(t)+iv(t)dtn-ldtn有复值解x=U(t)+iV（t),这里a（t）i=1,2n）及u(t),v(t)都是实值函数，则这个解的实部U(t)和虚部V（t）分别是方程dn-xd"x+a(t)...+a,(t)x=u(t)dtn-1dtn和qnd"x小+a,(t)+...+a(t)x=v(t)dtn-1dt"的解二教学课件广东第二师范学院《常微分方程》上二市结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (3)定理9 若方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a t x u t iv t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = + − − 部 分别是方程 及 都是实值函数 则这个解的实部 和虚 有复值解 这里 ( ) ( ), ( ) , ( ) ( ) ( ), ( )( 1,2, , ) V t u t v t U t x =U t + iV t ai t i = n ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a t x u t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = − − 和 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a t x v t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = − − 的解