《电磁场与电磁能》课程PPT教学课件（马冰然版）总结复习

三、矢量梯度Ouu(M)-u(Mo)lim1.方向导数的定义：△1ailMoN>0OuOuQuoucos β+cosαcOSyalaxdyOzQuQuou2.梯度的定义：gradu = G = ax 2+oaxyOzayouG.AIlim=G-a/ =|G|cos(G,a/)al01aaaV=ax梯度也可记作ad+Vu+Ozaxay电位

1.方向导数的定义： 0 ( ) ( ) lim 0 0 M l l u l u M u M   =  −  → cos cos  cos z u y u x u l u   +   +   =   2.梯度的定义： z u y u x u u x y z   +   +   grad = G = a a a lim cos( , ) 0 l l l l l u G a G G a G l =  =   =    → a a a x y z x y z     = + +    梯度也可记作 u 电位 三、矢量梯度

求标量场 u=xy2+yz3在点M(2-1,1)处的梯度,以及在矢量=2a.+2a,-a.方向的方向导数解:OuOuOugradu =00_+a.a,OzOyax=axy? +a,(2xy+z3)+a,3yzM(2,-1,1)Vul = ax - 3a, -3a而7的方向余弦为

求标量场 u = x y 2 + yz 3 在点M(2,−1,1)处 的梯度,以及在矢量 l 2a 2a a 方向的方向导数. x y z     = + − 解： z u a y u a x u gradu ax y z   +    +    =     2 3 2 a y a (2x y z ) a 3yz x y z    = + + + M( 2,−1,1) M x y z u a a a     = − 3 − 3 而 l 的方向余弦为 

: 1=2a +2a,-a.212COSα:3/22 +22 +(-1)222cosB=3V2 +22 +(-1)21-1cOSY:3V22 +22 +(-1)2函数u在M点沿7方向的方向导数为：2Ou12=1x+(-3) x+C-3) X333alM

3 2 2 2 ( 1) 2 cos 2 2 2 = + + −  = 3 2 2 2 ( 1) 2 cos 2 2 2 = + + −  = 3 1 2 2 ( 1) 1 cos 2 2 2 = − + + − −  = 点沿 l 方向的方向导数为：  函数 u 在 M 3 1 ) 3 1 ( 3) ( 3 2 ( 3) 3 2 =1 + −  + −  − = −   l M u l 2a 2a a . x y z      = + −

四、矢量散度dx_ dy_dz即1.矢量场的矢量线FxF.F,d = A.ds = Acosods2.矢量的通量@Φ=「dΦ=A.ds=「A.ndS=「AcosOdSSA.ds3.散度的定义divAlim>0该点有发出通量线的正源AVAV-O0A,A0A.divAOxOyOz电位移矢量divA-V.A4.高斯散度定理：IV. AdV =$A.dsS

4.高斯散度定理：    =  V S AdV A dS    1.矢量场的矢量线 x y Fz dz F dy F dx 即 = = 2.矢量的通量 d = AdS = AcosdS   3.散度的定义 di A  v = V A dS S V     →   0 lim z A y A x A di A x y z   +   +   =  v di A A    v =      =  =  =  = S S S S d A dS A ndS AcosdS     电位移矢量 ＞0 该点有发出通量线的正源 四、矢量散度

五、矢量旋度A.di =- $ AcosOdlT1.矢量的环量A.dl磁感应强度2.环量密度limASAS>03.旋度的定义A.dl100100ta"arot,A= rotA-daas rotA=VxAlim184AS>OAS84A.+A.di - IvxAds4.斯托克斯定理CS5.量分析中的两个重要恒等式V.(V× A)= 0V.B=0 = B=V×AE=-VdV×E=0 =V×VΦ=0VxVu=0

1.矢量的环量  =   =  C C A dl Acosdl   2.环量密度 S A dl C S     →   0 lim 3.旋度的定义 0 lim C n s S A dl rot A rotA da S   →  = =    x y z x y z A A A x y z a a a rotA A       =  =      5.矢量分析中的两个重要恒等式 ( A)  0  B B A     = 0  =  u  0  E = 0   = 0  E = −  4.斯托克斯定理    =   C S A dl A dS     磁感应强度 五、矢量旋度