光滑曲线的弧长(arc length) r()=x(t)i+yt)j+z(t)k,a≤t≤b,设x(t),y(),z(t)在[a,b]上有连续导 函数，则 ++-+(+Go 记为s=ro油 1∈[a,b],设s(0=∫r'()lt, 则s(t)是曲线C从a到的弧长， ds =r'(t)dt 特别，以弧长为参数 △Sk r'(s)=1=ds2 =dx2+dy2+de2 →y (xk yk,Zk) =a
光滑曲线的弧长(arc length) 2 2 2 2 2 2 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ), ( ), ( ) [ , ] lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ], ( ) ( ) , ( ( ) ( ) ) n b i i i b a i a i t a t x t y t z t a t b x t y t z t a b x y z t x s t dt t y t z t dt t a b s t t dt s t C a t ds t dt r i j k r r r 设 在 上有连续导 函数，则 记为： 设 则 是曲线 从 到 的弧长， 2 2 2 2 r( )s ds dx dy dz 特别，以弧长为参数 =1
例 x=a(t-sint) y =a(1-cost) a (1-cost)+a'sin'idt =8a
例 ( sin ) (1 cos ) x a t t y a t 2 2 2 2 2 0 a t a tdt a (1 cos ) sin 8
例：椭圆弧长 x=acost a>b>0 y=bsint' 05月 a sin产1+b'cos'7dh .1 -05 4"a sincos-idr 7.640395578 -a。产cs-aro 其中6-V日-6 为椭圆离心率 a
例：椭圆弧长 cos , 0 sin x a t a b y b t 2 2 2 2 2 0 / 2 2 2 2 2 0 sin cos 4 sin cos a t b tdt a t b tdt 7.640395578 / 2 / 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 4 1 cos 4 1 cos = a tdt a tdt a b a a a b 其中 为椭圆离心率
例：星形线 x=acos0,0≤t≤2r ly=asin'() 1.0- Sfa 6.5 =6a T 00 -1. 05 0.5 0.5 -10
例：星形线 3 3 cos ( ) 0 2 sin ( ) x a t t y a t ， 2 2 2 0 6 x y dt a
例 x=acost,y=asint,z=ct I=[a'sin i+a cos t+edi-2nva+o 10 20002
例 2 2 2 2 2 2 2 2 0 cos , sin , sin cos 2 x a t y a t z ct l a t a t c dt a c