等时线(tautochrone) 考虑以下形式的摆线：(x(0),y(0)=(A+a(0-sin0),B-a(1-cos0) 画出该摆线，假设单位质量的粒子在摆线上的(：，)点以静止状态开始， 该点对应于参数表示中的角度，在重力作用下（假设无摩擦），证明 对任何选定的初始角度7，粒子总是经过时间T=, ”π（其中g为重力加速 度)就滑到摆线的底端(0=π) 提示 2=8D-y以.y=当=，-sin0 x 1-cos0 05 √-y √1-cos0 √2cos cos0-s d0= -2arcsin 1+cos0
等时线（tautochrone） ( ( ), ( )) ( ( sin ), (1 cos )) ( , ) , ( ( ) x y A a B a x y t a t T g g 考虑以下形式的摆线： 画出该摆线，假设单位质量的粒子在摆线上的 点以静止状态开始， 该点对应于参数表示中的角度 ，在重力作用下（假设无摩擦），证明 对任何选定的初始角度 粒子总是经过时间 其中 为重力加速 度）就滑到摆线的底端 2 2 sin ( ), 2 1 cos 1 1 2 2 cos 1 cos 2 2arcsin cos cos 1 cos bottom x x x x v y g y y y x y T dx g y y a a d g g 提示：
例：星形线(The Astroid 让半径为4的圆在半径为a的圆内滚动，设开始小圆在(a,0)点与大圆 接触，并使初始与（α，0）接触的点沿大圆滚动，滚动使其转过一段s的 弧长，t是大圆圆心到新接触点的连线与x轴正向的角度，O是小圆转 过的角度（以接触点测量），得到=，且5=是放日=4红小圆相对 于圆心的坐标为 4c0s3,- a sin3t 小圆圆心移动到 4c0s1,4 因而相对原点接触点移动到 3a 4 -cost,sin 3t+a sint 4 4
例：星形线(The Astroid) ( ,0) 4 ( ,0) , , 4 , 4 cos3 , sin 3 , 4 4 3 3 cos , sin 4 4 a a a a s t x s at s a t a a t t a a t t 让半径为 的圆在半径为 的圆内滚动，设开始小圆在 点与大圆 接触，并使初始与 接触的点沿大圆滚动，滚动使其转过一段 的 弧长， 是大圆圆心到新接触点的连线与 轴正向的角度， 是小圆转 过的角度（以接触点测量），得到 且 故 小圆相对 于圆心的坐标为 小圆圆心移动到 因而相对原点接 3 3 cos3 cos , sin 3 sin 4 4 4 4 a a a a t t t t 触点移动到
练习 验证星形线公式可以化简为 10 (acos3t,asin3t),0≤t≤2π 05- 即+=a 22 00 -05 .10 -1.0 05007
练习 3 3 2 2 2 3 3 3 ( cos , sin ),0 2 a t a t t x y a 验证星形线公式可以化简为 即
例：箕舌线(Witch of Agnesi 引一条过原点及点P的直线，其中P是圆心为0，a以半径为a的圆上的任意 一点，求此直线与水平线y=2的交点Q,从Q引一条垂线和过点P的水平 线相交，这些交点的集合即witch of Agnesi r(t)=(2atant,2acos2t) 151 0
例：箕舌线(Witch of Agnesi) 2 (0, ) 2 witch of Agnesi ( ) (2 tan ,2 cos ) P P a a y a Q Q P t a t a t r 引一条过原点及点 的直线，其中 是圆心为 、半径为 的圆上的任意 一点，求此直线与水平线 的交点 ，从 引一条垂线和过点 的水平 线相交，这些交点的集合即
例：螺旋线(The Helix r(t)=(acost,asint,bt), lr'(t)=Va2+b2≠0 r"(t)=(-acost,asint,0)
例：螺旋线(The Helix) 2 2 ( ) ( cos , sin , ), ( ) 0 ( ) cos , sin ,0 t a t a t bt t a b t a t a t r r r