格的性质—一对偶原理 对偶命题:设P是由格中元素,<,>,等表示的命题, 若将P中的≤,>,八,V分别替换成≥≤,得到的命题称为 P的对偶命题,记作P 实例: P:a∧b=b∧a P: avb=bva 性质:(D)=P 对偶原理:如果P对于一切格为真,则P也对一切格为真
6 对偶命题：设 P 是由格中元素,≼,≽,=,∧,∨等表示的命题， 若将 P 中的≼,≽,∧,∨分别替换成≽≼,∨,∧得到的命题称为 P 的对偶命题，记作 P*. 实例： P: a ∧ b = b ∧ a P*：a ∨ b = b ∨ a 性质：(p*)*= P 对偶原理：如果 P 对于一切格为真，则 P*也对一切格为真. 格的性质——对偶原理
格的性质(续) 格中的基本不等式和等式 a a<b,bC→a<c a∧b<a,aNb<b a avb. b avb a<b,a<c→a≤bc a>b,a>C→a>bvc n<bb<a→a=b
7 格的性质（续） 格中的基本不等式和等式 a ≼ a a ≼ b, b ≼ c ⇒ a ≼ c a ∧ b ≼ a, a ∧ b ≼ b a ≼ a ∨b, b ≼ a ∨ b a ≼ b, a ≼ c ⇒ a ≼ b ∧ c a ≽ b, a ≽ c ⇒ a ≽ b ∨ c a ≼ b, b ≼ a ⇒ a = b
格的性质(续) 格中的基本等价条件 a<b分ab=a冷b=b 证:①→② n≤a,a≤b→a<Ab →∧b=a a∧b<a ②→③ barb l=入b<b,6<b→mMWb=b ③→① aavb= b
8 格的性质（续） a ≼ b ⇔ a ∧ b = a ⇔ a ∨ b = b ①② ③ 格中的基本等价条件 证： ② ⇒ ③ b ≼ a ∨ b ③ ⇒ ① a ≼ a ∨ b = b a ∧ b ≼ a ⇒ a ∧ b = a a = a ∧ b ≼ b, b ≼ b ⇒ a ∨ b ≼ b ⇒ a ∨ b = b ① ⇒ ② a ≼ a, a ≼ b ⇒ a ≼ a ∧ b
格的性质(续) 格中交换律、结合律、幂等律、吸收律 证(1)a∧b是{anb}的下界, b∧是{b,a}的下界, {a,b}={b,a}→Ab=b∧ (2)(ab)Acanka (anb)Canbo b)∧ca∧b∧C (anb)Acc (入bcb入c 同理,a^(b入C)<(aAb)/c 所以,aA(bC)=(aAb)c
9 格的性质（续） 证 (1) a ∧ b 是{ a , b }的下界， b ∧ a 是{ b , a }的下界 , { a , b }={ b , a } ⇒ a ∧ b = b ∧ a 格中交换律、结合律、幂等律、吸收律 (2) ( a ∧ b ) ∧ c ≼ a ∧ b ≼ a ( a ∧ b ) ∧ c ≼ a ∧ b ≼ b ( a ∧ b ) ∧ c ≼ c 同理， a ∧ ( b ∧ c) ≼ ( a ∧ b ) ∧ c ( a ∧ b ) ∧ c ≼ b ∧ c 所以， a ∧ ( b ∧ c) = ( a ∧ b ) ∧ c ( a ∧ b ) ∧ c ≼ a ∧ ( b ∧ c )