由于一个无上界(下界)数列中必有子列发散至正(负)无穷大, 按上述思路,可将极限点的定义扩充为 定义9.2.1在数列{xn}中,若存在它的一个子列{x}使得 mxn=5(-∞≤5≤+∞), 则称ξ为数列{xn}的一个极限点。 “5=+∞(或-∞)是{xn}的极限点”也可以等价地表述为:“对 于任意给定的G>0,存在{xn}中的无穷多个项,使得xn>G(或xn< G)
由于一个无上界（下界）数列中必有子列发散至正（负）无穷大， 按上述思路，可将极限点的定义扩充为 定义 9.2.1' 在数列{ x n }中，若存在它的一个子列{ nk x }使得 k→ lim k n x = （− + ）， 则称 为数列{ x n }的一个极限点。 “ =+（或− ）是{ x n }的极限点”也可以等价地表述为：“对 于任意给定的 G > 0，存在{ x n }中的无穷多个项，使得 x n > G（或 x n < -G）
同样地,仍定义E为{xn}的极限点全体。当5=+∞(或-∞)是 xn}的极限点时,定义supE=+∞(或infE=-∞);当5=+∞(或-∞) 是{xn}的唯一极限点时,定义supE=infE=+∞0(或supE=infE ∞0)。那么定理92.1依然成立,而定理9,22只要改为 定理9.2.2limx存在(有限数、+∞或-∞)的充分必要条件 n→)0 是 lim x lim xno
同样地，仍定义 E 为{ x n }的极限点全体。当 =+ （或− ）是 { x n }的极限点时，定义 sup E =+ （或 inf E =− ）；当 =+ （或− ） 是{ x n }的唯一极限点时，定义 sup E = inf E =+（或 sup E = inf E = − ）。那么定理 9.2.1 依然成立，而定理 9.2.2 只要改为 定理 9.2.2' lim n→ x n 存在（有限数、+或− ）的充分必要条件 是 n→ lim x n = n→ lim x n
例921求数列x=cos2m}的上极限与下极限 解因为xn4=xn=C85m3xn2-c0,=1,所以{xn} 的最大极限点是1,最小极限点是-cs,即 lim
例 9.2.1 求数列 2 π cos 5 n n x = 的上极限与下极限。 解 因为 5n−4 x = 5n−1 x = 2π cos 5 ， 5n−3 x = 5n−2 x = π cos 5 − ， 5 1 n x = ，所以{ x n } 的最大极限点是 1，最小极限点是 π cos 5 − ，即 n→ lim 1 n x = ， n→ lim n x = π cos 5 −
例922求数列{=n的上极限与下极限 解此数列为 1.2.-4.-6 8. 它没有上界,因而 又由xn>0,且{x2n-}的极限为0,即知 0
例 9.2.2 求数列 n xn n (−1) = 的上极限与下极限。 解 此数列为 1, 2, 3 1 , 4, 5 1 , 6, 7 1 , 8, …， 它没有上界，因而 n→ lim x n =+。 又由 x n 0，且{ } 2n−1 x 的极限为 0，即知 n→ lim x n = 0
例922求数列{=n的上极限与下极限 解此数列为 1.2.-4.-6 8. 它没有上界,因而 又由xn>0,且{x2n-}的极限为0,即知 0。 例92.3求数列{xn=-n}的上极限与下极限。 解由于1imxn=-∞,因而 n→0 lim x lim x lim x =-00 o
例 9.2.3 求数列{ x n = -n}的上极限与下极限。 解 由于lim n→ x n =− ，因而 n→ lim x n = n→ lim x n = lim n→ x n =− 。 例 9.2.2 求数列 n xn n (−1) = 的上极限与下极限。 解 此数列为 1, 2, 3 1 , 4, 5 1 , 6, 7 1 , 8, …， 它没有上界，因而 n→ lim x n =+。 又由 x n 0，且{ } 2n−1 x 的极限为 0，即知 n→ lim x n = 0