可降阶的ODE 第六章 常微分方程初步 3.0D中不显含x,以二阶为例：f(y,y',y”)=0 f(y,y',y)=0pm→f(y,p,pp)=0(此时y"=pp) y=py→”= ap dx dy dx 设-阶ODEf(y,p,pp)=0有通解p=p(y,C1): →r=o0.c)-ioc dy =x+C2 y"-e2y=0 例：求初值问题 的解。 y(0)=0,y'(0)=1 17
17 可降阶的ODE 第六章 常微分方程初步 3. ODE中不显含 以二阶为例 : f y y y ( , , ) 0 y p y ( ) f y y y ( , , ) 0 ( ) ( , , ) 0 y p y f y p pp (此时 ) 设一阶ODE f y p pp ( , , ) 0 有通解 例: 求初值问题 的解
中国辩空我术大学 University of Science and Technology of China 第六章常微分方程初步 §6.1 一阶微分方程 §6.2二阶线性微分方程 育 創 天下 寰宇 英 學 府
18 一阶ODE 第六章 常微分方程初步 第六章 常微分方程初步 §6.1 一阶微分方程 §6.2 二阶线性微分方程
二阶LODE 第六章 常微分方程初步 n 阶线性常微分方程(LODE) y(+p(x)y+..+p(x)y'+po(x)y=f(x). 当f(x)=0时，称方程是齐次的；否则，称它是非齐次的 定理：齐次LODE y()+pn1(x)y"-++P(x)y=0解的全体 V={y(x):y0+pn1(x)y-+…+P()y=0} 构成线性空间.即：若y,(x),y,(x)是方程的解，则任意常数C1,C2, Cy,(x)+C2y2(x)也是方程的解. 定义：V的一组基称为该LODE的一个基本解组. 19
19 二阶LODE 第六章 常微分方程初步 当 时，称方程是齐次的；否则，称它是非齐次的. n 阶线性常微分方程(LODE) 定理：齐次LODE 构成线性空间. 即: 若 是方程的解，则任意常数 也是方程的解. 解的全体 定义： 的一组基称为该LODE的一个基本解组
二阶LODE 第入章 常微分方程初步 定理：非齐次LODEy0+p,n1(x)y"-)+…+P(x)y=f(x)解的 全体为 W=V+y 其中V是相应的齐次LOD的解空间，y是非齐次方程的一个特解. 定理（叠加原理）：设y,y2分别是LODE y+p(x)y++po(x)y=f(x) y+p(x)y+..+Po(x)y=f(x) 的两个特解，则y=y+y2是LODE y0四+卫n1(xym-+…+P(xy=f(x)+f(x) 的一个特解 20
20 二阶LODE 第六章 常微分方程初步 定理：非齐次LODE 其中 是相应的齐次LODE的解空间， 是非齐次方程的一个特解. 全体为 解的 定理(叠加原理) : 设 分别是LODE 的两个特解， 的一个特解. 则 是LODE
二阶LODE 第六章 常微分方程初步 定义：设，y2,",yn为定义在区间I上n个函数.若存在n个不全 为0的常数C,C2,…,Cn,使得在I上 Cy+C23+…+Cnyn=0 则称y1,y2,·,y(在I上)线性相关；否则称它们线性无关， 例如：e*,ex,e2x 在任意区间上线性无关； l,cos2x,sin2x在任意区间上线性相关， 定义：设9(x),9(x)在区间I上可导.称W(x) 9(x)(x) 9(x)p(x) 为9(x),9,(x)的Wronski行列式. 两函数线性相关，则其Wronsk i行列式为0；反之不然
21 二阶LODE 第六章 常微分方程初步 例如： 在任意区间上线性无关； x x x e e e 2 , ， 在任意区间上线性相关. 定义：设 为定义在区间 I 上n个函数. 若存在n个不全 为0的常数 使得在 I 上 则称 (在 I 上)线性相关；否则称它们线性无关. 定义：设 在区间 I 上可导. 称 为 的Wronski行列式. 两函数线性相关，则其Wronski行列式为0；反之不然