一阶ODE 第六章 常微分方程初步 可分离变量的一阶ODE 形如 f(x)g(y) dx 的一阶常微分方程称为可分离变量的方程. 解法： ∫布小wa=e:o=叹 例：求下列微分方程的通解。 d y X dx 2.(1+x2)ydy+V1-y2dx=0 y 7
7 一阶ODE 第六章 常微分方程初步 可分离变量的一阶ODE 形如 的一阶常微分方程称为可分离变量的方程 . 例 : 求下列微分方程的通解. dy f x dx g y ( ) ( ) 解法 : y c g c : ( ) 0 .
一阶ODE 第六章 常微分方程初步 齐次一阶ODE 形如 =0 d dx 的一阶微分方程称为齐次的. 解法：令u=卫」 y'=(ux)'=u+xu'=p(u) X →d'=(p(0）-w） 可分离变量ODE 将待解ODE通过变量代换转为已知类型的ODE,是一种常见的 技巧. 8
8 一阶ODE 第六章 常微分方程初步 齐次一阶ODE 形如 的一阶微分方程称为齐次的 . y u x 解法: 令 y ux ( ) u xu ( ) u u u u x 1 ( ) 可分离变量ODE 将待解ODE通过变量代换转为已知类型的ODE，是一种常见的 技巧
一阶ODE 第六章 常微分方程初步 例：求下列微分方程的通解. 1 dy x+y dx x-y 2.xdy=(y+y*+y)dx dy-7x+3y+7 3. dx 3x-7y-3 x=X+k dy ax+by+c y=Y+h dY AX+BY dx azx+b2y+c2 dX」 A,X+B,Y 坐标平移 (齐次) 9
9 一阶ODE 第六章 常微分方程初步 例 : 求下列微分方程的通解. (齐次) 坐标平移
一阶ODE 第六章 常微分方程初步 一阶线性ODE 一阶线性ODE标准形式： +2wP=g田"首- 若q(x)=0,称为齐次方程； 若q(x)≠0，称为非齐次方程. 非齐次方程的通解 齐次方程的通解十非齐次方程的特解 >1.求齐次线性方程的通解 >2.找一个非齐次线性方程的特解 10
10 一阶ODE 第六章 常微分方程初步 一阶线性ODE标准形式: 称为非齐次方程. 若 , 称为齐次方程 ; 若 , 一阶线性ODE 2. 找一个非齐次线性方程的特解 1. 求齐次线性方程的通解 非齐次方程的通解 齐次方程的通解 非齐次方程的特解 (“首一”)
一阶ODE 第六章 常微分方程初步 待解方程为： dy+p(x)y=q(x) d L对应的济次方程为：十p少中 其通解为：yn(x)=Cepd 2.用常数变易法求解线性非齐次方程的特解：设 y(x)=C()·eJur 代入方程得： C-Jq)x 11
11 一阶ODE 第六章 常微分方程初步 2. 用常数变易法求解线性非齐次方程的特解：设 待解方程为： 1. 对应的齐次方程为： 其通解为： 代入方程得：