武汉大学：《实变函数》课程教学资源（讲义）第三章 可测函数（3.1）可测函数的基本性质

第三章可测函数 在给定了一个测度空间以后,由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各种 各样的集.为用测度论的方法研究这个函数我们自然要求这些集是可测的.由此产生了可 测函数的概念在定义积分时候,对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可测的我 们将看到可测函数是一类很广泛的函数.特别地,欧氏空间R"上的 Lebesgue可测函数是比 连续函数更广泛的一类函数.而且可测函数类对极限运算是封闭的,这将使我们在讨论积 分的时候更加便利 本章§31和§32讨论可测函数的定义,可测函数的基本性质和收敛性.§3.3在欧氏空间 Rn上讨论可测函数与连续函数的联系 §3.1可测函数的基本性质 教学目的定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集为 用测度论的方法研究这个函数,特别是在定义积分时,必须要求这些集是可 测的.由此产生了可测函数的概念本节将给出可测函数的定义并讨论其基 本性质 本节要点可测函数有不同的等价定义.可测函数是一类很广泛的函数 并且有很好的运算封闭性。可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼 近,这是可测函数的构造性特征,在研究可测函数,特别是在积分理论中有 重要应用 本节和以后若无特别申明“函数”一词均指取值于R的广义实值函数,取值于R的函 数仍称为实值函数在§21我们已给出可测空间的定义.这里回顾一下.称二元组合 (X,)为一可测空间,若X是一个非空集,分是X上的a-代数.称中的集为-可 测集或者简称为可测集 可测函数的定义与等价特征 定义1设(X,丌)为一可测空间,E是一个可测集.f:E→R为定义在E上的函 数.若对任意实数a,总有 {x∈E:f(x)<a}∈界

67 第三章 可测函数 在给定了一个测度空间以后, 由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各种 各样的集. 为用测度论的方法研究这个函数,我们自然要求这些集是可测的. 由此产生了可 测函数的概念.在定义积分时候, 对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可测的.我 们将看到可测函数是一类很广泛的函数. 特别地, 欧氏空间 n R 上的 Lebesgue 可测函数是比 连续函数更广泛的一类函数. 而且可测函数类对极限运算是封闭的, 这将使我们在讨论积 分的时候更加便利. 本章§3.1 和§3.2 讨论可测函数的定义, 可测函数的基本性质和收敛性. §3.3 在欧氏空间 n R 上讨论可测函数与连续函数的联系. §3.1 可测函数的基本性质 教学目的 定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集.为 用测度论的方法研究这个函数, 特别是在定义积分时, 必须要求这些集是可 测的. 由此产生了可测函数的概念.本节将给出可测函数的定义并讨论其基 本性质. 本节要点 可测函数有不同的等价定义. 可测函数是一类很广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼 近, 这是可测函数的构造性特征, 在研究可测函数, 特别是在积分理论中有 重要应用. 本节和以后若无特别申明,“函数”一词均指取值于 ∗ R 的广义实值函数, 取值于 1 R 的函 数仍称为实值函数. 在§2.1 我们已给出可测空间的定义. 这里回顾一下. 称二元组合 (X, F ) 为一可测空间, 若 X 是一个非空集, F 是 X 上的σ − 代数. 称F 中的集为F -可 测集或者简称为可测集. 可测函数的定义与等价特征 定义 1 设(X , F ) 为一可测空间, E 是一个可测集. f : E → ∗ R 为定义在 E 上的函 数. 若对任意实数 a, 总有 {x ∈ E : f (x) < a}∈F

(图1-1是X=R时的示意图)则称∫为E上的可测函数(简称为E上的可测函数)特 别地,X上的可测函数也称为可测空间(X,分)上的可测函数.(x,)上的可测函数和非 负可测函数的全体分别记为M(X,)和M(x,丌) R f(x) E {x:f(x)<a}=E1∪E2 注1设(x,)为一可测空间,E是一个可测集.容易知道 ={A:A∈E,A∈界}是一个σ-代数因此(E,TE)是一个可测空间.显然f是E上 的可测函数当且仅当∫是可测空间(E,E)上的可测函数因此在讨论一般可测函数的性 质时,不妨只讨论定义在全空间上的可测函数 特别地,若可测空间(X,)取为是R”上的 Lebesgue可测空间(R",M(R"),E是 R中的 Lebesgue可测集,则E上的可测函数称为 Lebesgue可测函数.类似地,若可测空间 (X,分)取为是R”上的 Borel可空间(R",(R"),E是R”中的 Borel可测集,则E上的 可测函数称为 Borel可测函数.按定义,∫是E上的 Lebesgue可测函数(或者 Borel可测函 数),若对任意实数a, {x∈E:f(x)<a} 是 Lebesgue可测集(相应地, Borel可测集).以后 Lebesgue可测函数可以简称为L可测函数 显然每个 Borel可测函数是 Lebesgue可测函数 一般地,设和是X上的两个a-代数并且C丌,则由可测函数的定义知 道,每个可测函数都是2可测函数 例1设(X,)是一可测空间,f(x)≡c是X上的常数函数.则∫是(X,)上的可测 函数.这是因为对任意实数a

68 (图 1—1 是 1 X = R 时的示意图) 则称 f 为 E 上的F -可测函数(简称为 E 上的可测函数). 特 别地, X 上的可测函数也称为可测空间(X , F ) 上的可测函数. (X , F ) 上的可测函数和非 负可测函数的全体分别记为 M (X , F ) 和 M (X , F ). + 图 1—1 注 1 设 (X , F ) 为一可测空间 , E 是一个可测集 . 容易知道 F = {A : A ⊂ E, A∈F } E 是一个σ − 代数. 因此( , ) E FE 是一个可测空间. 显然 f 是 E 上 的可测函数当且仅当 f 是可测空间 ( , ) E FE 上的可测函数. 因此在讨论一般可测函数的性 质时, 不妨只讨论定义在全空间上的可测函数. 特别地, 若可测空间(X, F ) 取为是 n R 上的 Lebesgue 可测空间( , ( )) n n R M R , E 是 n R 中的 Lebesgue 可测集, 则 E 上的可测函数称为 Lebesgue 可测函数. 类似地, 若可测空间 (X , F ) 取为是 n R 上的 Borel 可空间( , ( )) n n R B R , E 是 n R 中的 Borel 可测集, 则 E 上的 可测函数称为 Borel 可测函数. 按定义, f 是 E 上的 Lebesgue 可测函数(或者 Borel 可测函 数), 若对任意实数 a, {x ∈ E : f (x) < a} 是 Lebesgue 可测集(相应地, Borel 可测集). 以后 Lebesgue 可测函数可以简称为 L 可测函数. 显然每个 Borel 可测函数是 Lebesgue 可测函数. 一般地, 设F1 和F2 是 X 上的两个σ − 代数 并且F1 ⊂ F2 , 则由可测函数的定义知 道, 每个F1 -可测函数都是F2 -可测函数. 例 1 设(X, F ) 是一可测空间, f (x) ≡ c 是 X 上的常数函数. 则 f 是(X, F ) 上的可测 函数. 这是因为对任意实数 a, X 1 R f (x) a E1 1 2 {x : f (x) < a} = E ∪ E E2   

若 a>c {x:f(x)<a}= 若a≤c 由于X和必都是可测集,故对任意实数a,总有{x:f(x)<a}∈5.因此∫是可测的 例2设(X,)为一可测空间,Acx.则A的特征函数lA为可测函数当且仅当A为 可测集.这是因为,对任意实数a 2若a≤0 {x:I4(x)<a}=A若0<a≤1 X若a>1 由此易知结论成立 例3Rn上的连续函数是 Borel可测函数(因而也是 Lebesgue可测函数)这是因为对任 意实数a,{x:f(x)<a}是R”中的开集,而开集是Borl集,因此∫是 Borel可测的 例4设∫是定义在区间[ab上的单调函数.则f是[a,b]上的 Borel可测函数.事实 上,对任意实数a,由于∫是单调的,容易知道集{x:∫(x)<a}是区间,单点集或者空集 总之,{x:∫(x)<a}是 Borel集.因此∫是 Borel可测的 下面的定理给出了可测函数的一些等价特征 定理2设(X,J)为一可测空间,f∫:X→R是定义在X上的函数.则以下()(4) 是等价的 (1).∫是可测函数 (2)对任意实数a,{x:f(x)≤a}∈丌 (3)对任意实数a,{x:f(x)>a}∈丌 (4).对任意实数a,{x:f(x)≥a}∈分 此外,上面的(1)(4)蕴涵 (5).对任意B∈B(R),f(B)∈丌 若∫是实值函数,则(1)(5)是等价的 证明(1)→(2).因为∫可测故对任意实数a,{x:f(x)<a}∈.于是有 {x:f(x)≤a}=∩{x(x)<a+}∈ (2)→(3)这是因为 {x:f(x)>a}={x:f(x)≤a}∈. (3)→(4)这是因为

69    ∅ ≤ > < = . { : ( ) } a c X a c x f x a 若 若 由于 X 和∅ 都是可测集, 故对任意实数 a, 总有{x : f (x) < a}∈F . 因此 f 是可测的. 例 2 设(X , F ) 为一可测空间, A ⊂ X. 则 A 的特征函数 A I 为可测函数当且仅当 A 为 可测集. 这是因为, 对任意实数 a,      > < ≤ ∅ ≤ < = 1. 0 1 0 { : ( ) } X a A a a x I x a c A 若 若 若 由此易知结论成立. 例 3 n R 上的连续函数是 Borel 可测函数(因而也是 Lebesgue 可测函数). 这是因为对任 意实数 a, {x : f (x) < a}是 n R 中的开集, 而开集是 Borel 集, 因此 f 是 Borel 可测的. 例 4 设 f 是定义在区间[a,b]上的单调函数. 则 f 是[a,b]上的 Borel 可测函数. 事实 上, 对任意实数 a, 由于 f 是单调的, 容易知道集{x : f (x) < a}是区间, 单点集或者空集. 总之, {x : f (x) < a}是 Borel 集. 因此 f 是 Borel 可测的. 下面的定理给出了可测函数的一些等价特征. 定理 2 设(X, F ) 为一可测空间, → ∗ f : X R 是定义在 X 上的函数. 则以下(1)—(4) 是等价的: (1). f 是可测函数. (2). 对任意实数 a, {x : f (x) ≤ a}∈F . (3). 对任意实数 a, {x : f (x) > a}∈F . (4). 对任意实数 a, {x : f (x) ≥ a}∈F . 此外, 上面的(1)—(4)蕴涵 (5). 对任意 B ∈ ( ) 1 B R , ( ) . 1 ∈F − f B 若 f 是实值函数, 则(1)—(5)是等价的. 证明 (1)⇒(2). 因为 f 可测,故对任意实数 a,{x : f (x) < a}∈F . 于是有 {x : f (x) ≤ a} = < + ∈ ∞ = }1 { : ( ) 1 n x f x a n ∩ F . (2)⇒(3).这是因为 { : ( ) > } = { : ( ) ≤ } ∈F . c x f x a x f x a (3)⇒(4).这是因为

{x:f(x)2a}=∩x:f(x)>a-n}∈ (4)→(1).这是因为 f(x)<a}={x:f(x)≥a}∈ 因此,(1)(4)是等价的.为证(1)(4)蕴涵(5,我们证明(2)→(5) (2)→(5)令4={AcR:∫-(A)∈丌}.利用逆像的性质 f(UA)=US(A,) f-(4°)=(f-(A) 容易证明4是一个σ-代数.又令C是直线上左开右闭区间的全体.容易证明 o(C)=(R)(见第一章习题第42题)对任意左开右闭区间(a,b],我们有 ∫(a,b])={x:f(x)≤b}-{:f(x)≤a}∈ 故￠c4,从而B(R)=o(C)cA.这表明对任意B∈B(R),f-(B)∈丌 若∫是实值函数,我们还有 (5)→(1)设∫是实值函数.由于(-∞,a)是 Borel集,因此 {x:f(x)≤a}=f-(-∞,a)∈ 设∫是可测函数.由于单点集{a}(a是实数)是 Borel集,因此由定理2(5)知道 {x:f(x)=a}=∫-({a})是可测集.同理,以下几个集也是可测的 {x:a<∫(x)<b},{x:a≤∫(x)≤b}, {x:a<f(x)≤b},{x:a≤f(x)<b 此外,由于{x:∫(x)=+∞}=∩{x:f(x)>m},故{x:f(x)=+∞}是可测集.同理 {x:f(x)=-∞}也是可测集 可测函数的运算封闭性设∫和g是定义在x上的广义实值函数若f(x)和g(x)在某 一点x取异号的∞为值,则f(x)+g(x)无意义.此时规定∫(x)+g(x)=0.又定义 (vg(x)=maff(x),g(x),(fAg(x)=minf(x),g(x)) f(x)若f(x)≥0 若f(x)≥0 若(x)<O f(x)若f(x)<0

70 } . 1 { : ( ) } { : ( ) 1 ≥ = > − ∈F ∞ = ∩ n n x f x a x f x a (4)⇒(1). 这是因为 { : ( ) < } = { : ( ) ≥ } ∈F . c x f x a x f x a 因此, (1)—(4)是等价的. 为证(1)—(4)蕴涵(5), 我们证明(2)⇒(5). (2)⇒(5).令 { : ( ) } 1 1 A = ⊂ ∈F − A R f A . 利用逆像的性质 ( ) ( ), 1 1 1 1 ∪ ∪ ∞ = − ∞ = − = n n n f An f A ( ) ( ( )) , 1 c 1 c f A f A − − = 容易证明 A 是一个 σ − 代数 . 又令 C 是直线上左开右闭区间的全体. 容易证明 σ (C ) = ( ) 1 B R (见第一章习题第 42 题). 对任意左开右闭区间(a,b], 我们有 (( , ]) { : ( ) } {: ( ) } . 1 = ≤ − ≤ ∈F − f a b x f x b f x a 故C ⊂ A , 从而 ( ) 1 B R =σ (C ) ⊂ A . 这表明对任意 B ∈ ( ) 1 B R , ( ) . 1 ∈F − f B 若 f 是实值函数, 我们还有 (5)⇒ (1).设 f 是实值函数. 由于(−∞,a) 是 Borel 集, 因此 { : ( ) } (( , )) . 1 ≤ = −∞ ∈F − x f x a f a ■ 设 f 是可测函数. 由于单点集{a} ( a 是实数)是 Borel 集, 因此由定理 2(5)知道 { : ( ) } ({ }) 1 x f x a f a − = = 是可测集. 同理, 以下几个集也是可测的: { : ( ) }, { : ( ) }, x a fx b xa fx b << ≤≤ { : ( ) }, { : ( ) }. x a fx b xa fx b <≤ ≤< 此 外 , 由 于 { : ( ) } { : ( ) }, 1 ∩ ∞ = = +∞ = > n x f x x f x n 故 {x : f (x) = +∞} 是可测集 . 同 理 , {x : f (x) = −∞}也是可测集. 可测函数的运算封闭性 设 f 和 g 是定义在 X 上的广义实值函数. 若 f ( ) x 和 g x( ) 在某 一点 x 取异号的∞ 为值, 则 f () () x gx + 无意义. 此时规定 f x gx ( ) ( ) 0. + = 又定义 ( f ∨ g)(x) = max{ f (x), g(x)}, ( f ∧ g)(x) = min{ f (x), g(x)}.    < ≥ = + 0 ( ) 0. ( ) ( ) 0 f x f x f x f 若 若    − < ≥ = − ( ) ( ) 0. 0 ( ) 0 f x f x f x f 若 若

分别称函数∫和∫为∫的正部和负部(图1-2)∫和∫都是非负值函数,并且成立 ∫=f-f,=f*+∫ f(x) f(x) 图 为简单计,我们以后将集{x:∫(x)<a}简写成{∫<a},将集{x:f(x)≤g(x)}简写 成{∫≤g}等等 定理3设∫和g是两个可测函数则函数引f(c是实数,∫+g,/,团,∫vg和 f∫∧g都是可测函数 证明(1)若c=0,则≡0.此时当然是可测函数当c≠0时,则va∈R,有 Lf 若c>0 icf <a= {>a}若c<0 等式右边的集都是可测集因此f是可测函数 (2).先设∫和g不取异号∞为值设{n}是有理数的全体.由于∫+g<a当且仅当 存在rn使得∫<rn并且g<a-rn,因此 U+g<a=U(<rin(g<a-rm) 由上式∫和g的可测性知道{∫+g<a}是可测集.因此∫+g是可测函数.再考虑一般情 形.令 A={∫=+0,g=-0}∪{f=-∞,g=+∞}

71 分别称函数 + f 和 − f 为 f 的正部和负部(图 1—2). + f 和 − f 都是非负值函数, 并且成立 , . + − + − f = f − f f = f + f 图 1—2 为简单计, 我们以后将集{x : f (x) < a}简写成{ f < a}, 将集{x : f (x) ≤ g(x)} 简写 成{ f ≤ g}等等. 定理 3 设 f 和 g 是两个可测函数. 则函数 cf (c 是实数), f + g , fg , f , f ∨ g 和 f ∧ g 都是可测函数. 证明 (1).若c = 0, 则 cf ≡ 0. 此时cf 当然是可测函数. 当c ≠ 0 时, 则 1 ∀ ∈a R , 有      > < < > < = { } 0. { } 0 { } c c a f c c a f cf a 若 若 等式右边的集都是可测集. 因此cf 是可测函数. (2). 先设 f 和 g 不取异号 ∞ 为值. 设{ }nr 是有理数的全体. 由于 f + g < a 当且仅当 存在 nr 使得 n f < r 并且 . n g < a − r 因此 { } ({ } { }). 1 ∪ ∞ = + < = < ∩ < − n n n f g a f r g a r 由上式 f 和 g 的可测性知道{ f + g < a}是可测集. 因此 f + g 是可测函数. 再考虑一般情 形. 令 A = { f = +∞, g = −∞}∪{ f = −∞, g = +∞}. X Y f (x) O f (x) + f (x) −