sinal=0 1丌 …(n=1,2,3…) nTX X,(x)=B, sin (10) L 注:对于参数入的某些值,问题(8),(9)的非平 凡解存在,称这种λ值为固有值(本征值);同时 称相应的非平凡解X(x)为固有函数(本征函数) 求解固有值和固有函数的问题称为固有值问题 (本征值问题)。 分离变量的核心问题是固有值问题(本征值问题)!
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 11 sin L = 0 2 2 2 ( 1,2,3 ) n n n L = = ( ) sin (10) n n n x X x B L = 注：对于参数λ的某些值，问题(8),(9)的非平 凡解存在，称这种λ值为固有值(本征值)；同时 称相应的非平凡解X(x)为固有函数(本征函数)； 求解固有值和固有函数的问题称为固有值问题 (本征值问题)。 分离变量的核心问题是固有值问题(本征值问题)！
由(⑦)还可得 "+a2T=0…(1) 该方程对应于固有值λn的通解为: n丌at nat COS +d sin (12) L L 把(10)、(12)代入(4)得: un(x,t)=T(tXn(x) nOtat (NcOS D iH兀at sin (13)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 12 2 T a T + = 0 (11) 由(7)还可得： 该方程对应于固有值λn的通解为： ( ) cos sin (12) n n n n at n at T t C D L L = + 把(10)、(12)代入(4)得： u (x,t) T (t)X (x) n = n n ( cos sin )sin (13) n n n at n at n x C D L L L = +
(13)是满足方程和边界条件的特解,但不满足初始 条件。由于方程与边界条件是线性的,因此,由叠 加原理2,下面表达式仍然满足方程和边界条件。 (x0)=∑ n丌at n丌at nox coS-+ sin Sin (14) n=1 L L 欲使(13)满足方程和边界条件和初始条件。只需 把(14)代入初始条件,求出C,Dn即可! (x,O)=9(x)=∑ SIn u,, (x,o)=y(x)=>Dn/sin
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 13 ( ) 1 , cos sin sin (14) n n n n at n at n x u x t C D L L L = = + (13)是满足方程和边界条件的特解，但不满足初始 条件。由于方程与边界条件是线性的，因此，由叠 加原理2，下面表达式仍然满足方程和边界条件。 欲使(13) 满足方程和边界条件和初始条件。只需 把(14)代入初始条件，求出Cn,Dn即可！ = = = = = = 1 1 ( ,0) ( ) sin ( ,0) ( ) sin n t n n n L n x L n a u x x D L n x u x x C
将(x),y(x)在[0,L上按奇式傅里叶展开得: ∠J9(5) sIn 1 2 xJ(5) n75 L 问题回顾: 1、分离变量法的物理背景是什么? 2、分离变量法的使用条件是什么? 3、什么是分离变量法的固有值问题? 4、小结分离变量法的步骤
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 14 将 ( ), ( ) x x 在[0,L]上按奇式傅里叶展开得： ( ) ( ) 0 0 2 sin 2 L n L n n C d L L n D d n L L = = 问题回顾： 1、分离变量法的物理背景是什么？ 2、分离变量法的使用条件是什么？ 3、什么是分离变量法的固有值问题？ 4、小结分离变量法的步骤