(2)物理模型考察:乐器发出的声音可以分解为若干 不同频率的单音。每个单音振动又可以表示为 u(r,t)=c(t)sin ax 因此,自然就会想到上面齐次方程的特解形式 可能为: l(x,)=7()X(x) 该等式的特征是把待求的多元函数分解为一元 函数乘积的形式
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 u x t c t x ( , ) ( )sin = 因此，自然就会想到上面齐次方程的特解形式 可能为： (2) 物理模型考察：乐器发出的声音可以分解为若干 不同频率的单音。每个单音振动又可以表示为： u x t T t X x ( , ) ( ) ( ) = 该等式的特征是把待求的多元函数分解为一元 函数乘积的形式
设方程(1)具有可以分离变量的解 (x,4)=T(4)X(x)…(4) 把(4)代入(1)与(2)得: X—x x(0)=0,X(L)=0…(6) 注:如果定解问题是非齐次方程与非齐次边界条 件,能够得到(5)与(6)吗? 答:不能! 所以定解问题要求是齐次方程与齐次边界条件, 否则,要作齐次化处理!
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 u x t T t X x ( , ) ( ) ( ) (4) = 2 (5) (0) 0, ( ) 0 (6) T X a T X X X L = = = 设方程(1)具有可以分离变量的解 : 把(4)代入(1)与(2)得： 注：如果定解问题是非齐次方程与非齐次边界条 件，能够得到(5)与(6)吗？ 答：不能！ 所以定解问题要求是齐次方程与齐次边界条件， 否则，要作齐次化处理！
欲使(5)成立,等式两端必须为常数。于是,令: T X …(7) aT X 考虑如下方程: X"+AX=0…(8) x(0)=0,X(L)=0…(9) 下面讨论该方程的解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 2 (7) T X a T X = = − 欲使(5)成立，等式两端必须为常数。于是，令： 考虑如下方程： 下面讨论该方程的解 0 (8) (0) 0, ( ) 0 (9) X X X X L + = = =
(1)当A<0时 x(x)=Aev-Ax+Be -Ax X(0)=A.1+B·1=0 X(L)=Aev-xL+Be-AL=o 从而 X(x)≡0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 (1) 当 0 时 ( ) x x X x Ae Be − − − = + ( ) 0 (0) 1 1 0 = + = = + = − L − − L X L Ae Be X A B 从而 X x( ) 0
(2)当见=0时 X=Ax+B A=B=0 (3)当 > >0时 A(x)=Acos√x+Bsin√x A=0,Bsin√L=0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 (2). 当 = 0 时 X = Ax + B A = B = 0 (3).当 0 时 X (x) = Acos x + Bsin x A = 0, Bsin L = 0