由 (k+1)A(k fx=∑ ∑a1+2 (k+1) k+1 a1l4+( k+1 k+1 CL2+… C 设a1≠0由1>21|(=2,3…m)得 (k+1) →lim,=a k+1 →)00
( 1) ( ) 1 (0) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 ( ) [ ( ) ( ) ] 0, ( 2,3, , ) lim n n k k k k k i i i i i i i k k k k n n n i k k k x Ax A x A u u x u u u i n x u + + + + = = + + + + + → + = = = = = + + + = = 由 设 由 得
故只要k充分大,就有 k+1) k+1 k+1 因此,可把x+作为与相应的特征向量的近似 由x6 ≈h+1 aI1 au →x+)≈1x(41为A按模最大的特征值) (k+1) ≈6-(2=12,…m) 其中x为x的第个分量
( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ( 1) ( 1) 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) ( ) 1 [ ( ) ] , ( ) ( 1,2, ) n k k k k i i i i k i k k k k k k k i k i k i k x u u u x x u x u x x x i n A x x + + + + = + + + + + = + = 故只要 充分大，就有 因此，可把 作为与 相应的特征向量的近似。 由 其 为 按模 值 中 最大的特征 ( ) k 为 x i 的第 个分量
乘幂法的收敛速度依赖于比值勹,比值越小,收敛越快。 两点说明: 1)如果x的选取恰恰使得a1=0.,幂法计算仍能进行。 因为计算过程中舍入误差的影响,迭代若干次后,必然 会产生一个向量x6),它在方向上的分量不为零,这样, 以后的计算就满足所设条件。 2)因x6=21a14,计算过程中可能会出现溢出(4|>1) 或成为0(41<1)情形。解决方法:每次迭代所求的向量 都要归一化
2 1 (0) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 0, , 2 , ( 1) 0( 1) k k k x x u x u = = 乘幂法的收敛速度依赖于比值 ，比值越小，收敛越快。 两点说明： ）如果 的选取恰恰使得 幂法计算仍能进行。 因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然 会产生一个向量 它在 方向上的分量不为零，这样， 以后的计算就满足所设条件。 ）因 计算过程中可能会出现溢出 或成为 的情形。解决方法：每次迭代所求的向量 都要归一化
因此,乘幂法实际使用的计算公式: 任取初始向量x∈R通常取x=(l 迭代过程为 m二m图(012)x=m y/mi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 , 11 1 max ( 0,1, 2, ) = / T k k k k i k i n k k k A m k m m − + = = = x R x y x y x y 因此，乘幂法实际使用的计算公式: 任取初始向量 通常取 ＝ ，， ， ， 迭代过程为
例:用乘幂法求矩阵 10 200 2-1 的按模最大的特征值和相应的特征向量 取x0)=(0,0,1),E≤10-3
(0) 3 2 1 0 0 2 1 0 1 2 (0,0,1) , 10 . T A x − − = − − = 例：用乘幂法求矩阵 的按模最大的特征值和相应的特征向量。 取