标准正交基的计算二、定理1n维欧氏空间中任一正交组均可扩充为正交基证明：设αi,α,…,αm是V的任一正交组，对n一m进行归纳当n一m=0时，α,αz,,α已是的正交基假定n-m=k时命题成立，即可找到β,β,,βεV，使得αi,α2,αm,β,β,…,β是V的正交基，现证n一m=k+1命题成立这时,由 n-m=k+1>0得m<n →存在 β(0)eV，β不能由α,αz,αm线性表出（否则，得V=L(αi,α2,,αm）αi,α2,,αm是V的基→dimV=m<n，出现矛盾）→构造
二、 标准正交基的计算
向量α=βaα--amαm，a，,a为待定系数，使得(αi,αm+)=0 (i=l,,m)，解出 a即可→事实上(αi, αm+)=(αi,β)-a,(αi, α)-...-(αi, α,)-...-am(αi, αm)=(αi,β)-a;(αi, α)=0 (i=l,..,m)(αi, β)由于α 0. 可知(α,α)>0. 故 a;=α,g)(i=1, ..., m)(β, α,)(β,αm)(β,α)(β,α)αm+1 =β=B-Q(αi, α,)(αi, α)(an1αα