[1 i=j性质 2,e2,,e,是V的标准正交基 → (8,)=[0 itj证明：i=j时，由单位向量的定义得/(,ε)==l，故(,)=l;i≠j时，由正交向量的定义得(ε,ε)=0，故命题成立L性质 3n 维欧氏空间 V 的基为标准正交基 台该基的度量矩阵为单位矩阵→则设V的基882，,8的度量矩阵是单位矩阵EJi=j→s=/(s,)=l;（8i,8)=0(i±j)，即知i+j01,82,,8.是V的标准正交基
性质4n维欧氏空间V中存在一个基，其度量矩阵是单位矩阵证明：设V的基α,α,α的度量矩阵是A→A是正定矩阵A与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵TeRx，使TAT=E取(β,β2,"",β)=(αi,α2,"",α,)T，则β,β2,",β,是 V 的基,而T是过渡矩阵→据P364（11）得基β,β,,,β的度量矩阵B=T'AT=E
性质581,&2,,8,是V的标准正交基VaeVUα =(81,α)8 +(81,α)82 +... +(81,α)8,α=x;8 →(α,8;)=(8i,α)证明：i=-1h=(8,Zxje)=Zx;(8i,8,) = x;j-1j-1α =(81, α)8 +(81,α)82 +... +(81,α)8
8,62,,8, 是 V的标准正交基,α=x;8，β=yj8; V性质 6i=1(α,B)=x,yi +x,y2 +...+xnyα=Vxi +x2+...+xd(α,β) =|α-β|= /(x; -y,)2
证明：(α,β) = (Xi, X2, , X,)E=xiyi+x2y2 +...+xnyn ;1α|=/(α,α)=x+x2+...+x由α-β=(x,-y,)e, +...+(x,-y,)e,推出(xi-y.). d(α,β)=α-β=/(x-y)+...+(x,-y,)如上内积的坐标表达式对任意一个标准正交基都是一样的，故所有标准正交基在欧氏空间中有相同的地位性质4一性质6说明：在标准正交基下，内积、向量长度、距离及度量矩阵均具有较简单的表达形式作业：p393习题1；习题2.1），3）；习题4；习题5
证明： 1 2 1 2 n 1 1 2 2 n n n y y ( , ) (x , x , , x )E x y x y x y y = = + + + ； 2 2 2 1 2 n = = + + + ( , ) x x x ； 由 1 1 1 n n n − = − + + − (x y ) (x y ) 推出 n 2 2 2 1 1 n n i i i=1 d( , ) (x y ) (x y ) (x y ) = − = − + + − = − . □ ⚫ 如上内积的坐标表达式对任意一个标准正交基都是一样的， 故所有标准正交基在欧氏空间中有相同的地位. ⚫ 性质 4-性质 6 说明：在标准正交基下，内积、向量长度、距 离及度量矩阵均具有较简单的表达形式. 作业： p393 习题 1；习题 2. 1), 3)；习题 4；习题 5