(1)求f(x,y)在(,0)点的 Taylor展开式(展开到二阶导数),并计算余项R2。 (2)求∫(x,y)在(1,0)点的k阶 Taylor展开式,并证明在(1,0)点的某个领域内,余 项Rk满足当k→∞时,Rk→0 6.利用 Taylor公式近似计算89620(展开到二阶导数)。 7.设f(x,y)在R2上可微。l1与l2是R2上两个线性无关的单位向量(方向)。若 )≡0,i 证明:在R2上f(x,y)≡常数 8.设f(x,y)=sin2(x≠0),证明: oxa,f(xy)=0,k≥1。 12.4 1.求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数: (1)y+e-=0,求Q (2)x3=y2,求旦 (3)ln√x2+ (4) arctan x+yy0叙 x az az (5)=ln-,求二和 e"-xy2=0 a- az a=a 和 (8)∫(x+y,y+2,z+x)=0,求一和; =f(x,=-y),求 f冬石 az aa=02 (10)f(x,x+y,x+y+)=0,求一, ax’oy’ox2"axoy 2.设y=tan(x+y)确定y为x的隐函数,验证 d 2(3 dx3 3.设φ是可微函数,证明由φcx-a,cy-b-)=0所确定的隐函数z=f(x,y)满足方程 b
（1） 求 f (x, y) 在(1,0) 点的 Taylor 展开式（展开到二阶导数），并计算余项 R2 。 （2） 求 在 点的 阶 Taylor 展开式，并证明在 点的某个领域内，余 项 满足当 时， 。 f (x, y) (1,0) k (1,0) Rk k → ∞ Rk → 0 6．利用 Taylor 公式近似计算8.962.03 （展开到二阶导数）。 7．设 f (x, y) 在 2 R 上可微。 l1与 l2 是 2 R 上两个线性无关的单位向量（方向）。若 ( , ) ≡ 0 ∂ ∂ x y l f i ， i = 1,2 ， 证明：在 2 R 上 f (x, y) ≡ 常数。 8．设 x y f (x, y) = sin （ x ≠ 0 ），证明： ( , ) ≡ 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ f x y y y x x k ，k ≥ 1。 习 题 12.4 1．求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数： （1）sin 0 ，求 2 y + e − xy = x x y d d ； （2） ，求 y x x = y x y d d ； （3） x y ln x y arctan 2 2 + = ，求 x y d d ； （4）arctan − = 0 + a y a x y ，求 x y d d 和 2 2 d d x y ； （5） y x z x = ln ，求 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ ； （6）e − xyz = 0 ，求 z x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ ， 2 2 x z ∂ ∂ 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 ； （7） ，求 3 3 z − 3xyz = a x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ ， 2 2 x z ∂ ∂ 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 ； （8） f (x + y, y + z,z + x) = 0 ，求 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ ； （9） z = f (xz,z − y) ，求 x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ 和 2 2 x z ∂ ∂ ； （10） f (x, x + y, x + y + z) = 0，求 x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ ， 2 2 x z ∂ ∂ 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 2．设 y = tan(x + y) 确定 y 为 x 的隐函数，验证 8 4 2 3 3 2(3 8 5) d d y y y x y + + = − 。 3．设φ 是可微函数，证明由φ(cx − az, cy − bz) = 0 所确定的隐函数 z = f (x, y) 满足方程 c y z b x z a = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 6
4.设方程(x+zy-1,y+x-)=0确定隐函数z=f(x,y),证明它满足方程 o oy 5.求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数: 0 d= day. d2 求 y y 和 2y2+3==4a2, dxdxdxdx xu+ vi 0 a2u a2u Vu+xv= ov f(ux,v+y) 求 v=g(u-x, vy), ax a x=u+v (4){y=u-,求和一 2=l (5) e"sinv,求一和一。 2=l-+1 6.求微分 (1)x+2y+z-2 0,求d xty=u+v, (2)x sinu 求du与dv。 y sll F(y-x,y-z)=0, 7.设{x=x(y 是由方程组 所确定的向量值隐函数,其中二元函数 0 dx dz F和G分别具有连续的偏导数,求一和 x=rcos e 8.设∫(x,y)具有二阶连续偏导数。在极坐标 变换下,求 关于极坐标的表达式 9.设二元函数∫具有二阶连续偏导数。证明:通过适当线性变换 x+ a 可以将方程 A 2B 0(AC-B2<0) 化简为 0
4．设方程 ( , ) 0确定隐函数 1 1 + + = − − φ x zy y zx z = f (x, y) ，证明它满足方程 z xy y z y x z x = − ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 5．求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数： （1） 求 ⎩ ⎨ ⎧ + + = − − = 2 3 4 , 0, 2 2 2 2 2 2 x y z a z x y x y d d ， x z d d ， 2 2 d d x y 和 2 2 d d x z ； （2） 求 ⎩ ⎨ ⎧ + = + = 1, 0, yu xv xu yv x u ∂ ∂ ， y u ∂ ∂ ， 2 2 x u ∂ ∂ 和 x y u ∂ ∂ ∂ 2 ； （3） 求 ⎩ ⎨ ⎧ = − = + ( , ), ( , ), 2 v g u x v y u f ux v y x u ∂ ∂ 和 x v ∂ ∂ ； （4） 求 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = + , , , 2 2 z u v y u v x u v x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ ； （5） 求 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = = , sin , cos , 2 2 z u v y e v x e v u u x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ 。 6．求微分 （1） x + 2y + z − 2 xyz = 0，求d z ； （2） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + , sin sin , v u y x x y u v 求du 与dv 。 7． 设 是由方程组 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ), z z y x x y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = , 0 ( , ) 0, y z G xy F y x y z 所确定的向量值隐函数，其中二元函数 F 和G 分别具有连续的偏导数，求 dy dx 和 dy dz 。 8． 设 f (x, y) 具有二阶连续偏导数。在极坐标 变换下，求 ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ sin cos , y r x r 2 2 2 2 y f x f ∂ ∂ + ∂ ∂ 关于极坐标的表达式。 9． 设二元函数 f 具有二阶连续偏导数。证明：通过适当线性变换 ⎩ ⎨ ⎧ = + = + , , v x y u x y µ λ 可以将方程 2 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ y f C x y f B x f A （ 0 ）. 2 AC − B < 化简为 0 2 = ∂ ∂ ∂ u v f 。 7
并说明此时A,为一元二次方程A+2B+C12=0的两个相异实根 0.通过自变量变换 变换方程 y=e +2bs30+gy2 0,a,b,c为常数。 11.通过自变量变换 变换方程 v=x+2 0 Cx ay- 2 ay 12.导出新的因变量关于新的自变量的偏导数所满足的方程: 用 及w=nz-(x+y)变换方程 x J y (2)用{“=x 及w=x+y+二变换方程 v=xty u=x+ y (3)用{,=2及=二变换方程 2+二=0 ax- axon 设y=f(x,1),而t是由方程F(x,y,1)=0所确定的x,y的隐函数,其中∫和F都具 i连续偏导数。证明 af aF af 如 ax at at ax af aF al 4.设二元函数f(x,y)R2→R具有连续偏导数,证明:存在一对一的连续的向量值函 数G(1):R→R2,使得 f∫G≡常数 习题12.5 1.求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程: x在1,1,点 1+x
并说明此时λ, µ 为一元二次方程 2 0 的两个相异实根。 2 A + Bt + Ct = 10. 通过自变量变换 变换方程 ⎩ ⎨ ⎧ = = η ξ e e , y x 2 0 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ y z cy x y z bxy x z ax ， a,b, c 为常数。 11．通过自变量变换 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = − v x y u x y 2 2 , 变换方程 , 0 2 1 2 2 2 2 > ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ y y z y z y x z 。 12．导出新的因变量关于新的自变量的偏导数所满足的方程： （1）用 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + x y v u x y 1 1 , 2 2 及 w = ln z − (x + y)变换方程 y x z y z x x z y = ( − ) ∂ ∂ − ∂ ∂ ； （2）用 及 ⎩ ⎨ ⎧ = + = v x y u x, w = x + y + z 变换方程 2 1 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ y z x y x y z x z ； （3）用 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + x y v u x y, 及 x z w = 变换方程 2 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ y z x y z x z 。 13．设 y = f (x,t) ，而t 是由方程 F(x, y,t) = 0 所确定的 x, y 的隐函数，其中 和 都具 有连续偏导数。证明 f F t F y F t f x F t f t F x f dx dy ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = 。 14. 设二元函数 具有连续偏导数，证明：存在一对一的连续的向量值函 数 ，使得 R → R 2 f (x, y) : 2 G(t) : R → R f DG ≡ 常数。 习 题 12.5 1．求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程： （1） ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = = . 1 , 2 x x z y x 在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 1,1, 点； 8
In t 2){y=1-cos,在 =4 x+y+二=0, (3) x+y+2=6在(1,-2,1)点 (4) R2,在(RRR) 2.在曲线x=t,y=12,二=1上求一点,使曲线在这一点的切线与平面x+2y+=10平 3.求曲线x=sin2t,y= sin t cost,z=cos2t在t=所对应的点处的切线的方向余弦。 4.求下列曲面在指定点的切平面与法线方程: (1)z=2x4+3y3,在点(21,35) (2)e2+e=4,在点(ln2,n2,1) (3)x=u+V,y=u2+2,z=u3+y3,在点l=0,v=1所对应的点。 5.在马鞍面二=xy上求一点,使得这一点的法线与平面x+3y+z+9=0垂直,并写出此 法线的方程 6.求椭球面x2+2y2+3z2=498的平行于平面x+3y+5z=7的切平面 7.求圆柱面x2+y2=a2与马鞍面bz=xy的交角。 8.已知曲面x2-y2-3=0,求经过点A(00-1)且与直线x==平行的切平面的方 程 9.设椭球面2x2+3y2+2=6上点P(110指向外侧的法向量为n,求函数 6x2+8y 在点P处沿方向n的方向导数。 10.证明曲面√x+√+√=√a(a>0)上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之和等 于a 11.证明:曲线 x=ae cost 与锥面x2+y2=2的各母线相交的角度相同 12.证明曲面∫(ax-b,ay-c)=0上的切平面都与某一定直线平行,其中函数∫连续 可微,且常数a,b,c不同时为零 1证明曲面=12)(x≠0)在任一点处的切平面都通过原点,其中函数厂连续可微。 15.设F(x、,y)2=0的所有切平面都过某一定点,其中函数F具有连续偏导数。 14.证明曲面 )具有连续偏导数,且F2+F2+F2≠0。进一步,设k为正整数
（2） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = − . 2 4sin 1 cos , sin , t z y t x t t 在 2 π t = 对应的点； （3） 在 ⎩ ⎨ ⎧ + + = + + = 6. 0, 2 2 2 x y z x y z (1,−2,1) 点； （4） 在 ⎩ ⎨ ⎧ + = + = . , 2 2 2 2 2 2 x z R x y R ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 , 2 , 2 R R R 点。 2．在曲线 上求一点，使曲线在这一点的切线与平面 平 2 3 x = t, y = t ,z = t x + 2y + z = 10 行。 3．求曲线 x t y t t z t 在 2 2 = sin , = sin cos , = cos 2 π t = 所对应的点处的切线的方向余弦。 4．求下列曲面在指定点的切平面与法线方程： （1） ，在点 ； 4 3 z = 2x + 3y (2,1,35) （2）e + e = 4 z y z x ，在点(ln 2,ln 2,1) ； （3） ，在点 2 2 3 3 x = u + v, y = u + v , z = u + v u = 0, v = 1所对应的点。 5．在马鞍面 z = xy 上求一点，使得这一点的法线与平面 x + 3y + z + 9 = 0 垂直，并写出此 法线的方程。 6．求椭球面 2 3 498的平行于平面 2 2 2 x + y + z = x + 3y + 5z = 7 的切平面。 7．求圆柱面 与马鞍面 2 2 2 x + y = a bz = xy 的交角。 8．已知曲面 3 0，求经过点 2 2 x − y − z = A(0,0,−1)且与直线 2 1 2 x y z = = 平行的切平面的方 程。 9 ．设椭球 面 2 3 6 上 点 处 指 向 外侧的 法 向量为 ， 求 函 数 2 2 2 x + y + z = P(1,1,1) n z x y u 2 2 6 + 8 = 在点 P 处沿方向 n的方向导数。 10．证明曲面 x + y + z = a (a > 0) 上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之和等 于 a 。 11．证明：曲线 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = t t t z a y a t x a t e e sin , e cos , 与锥面 的各母线相交的角度相同。 2 2 2 x + y = z 12．证明曲面 f (ax − bz, ay − cz) = 0 上的切平面都与某一定直线平行，其中函数 f 连续 可微，且常数 a,b, c 不同时为零。 13．证明曲面 ⎟ ( ≠ 0) ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x x y z xf 在任一点处的切平面都通过原点，其中函数 f 连续可微。 14．证明曲面 , , = 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x y z x y z F 的所有切平面都过某一定点，其中函数 F 具有连续偏导数。 15．设 F(x, y,z) 具有连续偏导数，且 0 。进一步，设 为正整数， 2 2 2 Fx + Fy + Fz ≠ k 9