《高等数学》课程教学资源：二重积分的计算法（2）

二重积分化为二次积分的公式(3) 区域特征如图 r=9() D 0≤θ≤2,0≤r≤q(6) A D 2丌 p(6) de f(rcos 8, rsin e)rdr. 0 牛极坐标系下区域的面积a=rol 上页

 D f (r cos ,rsin )rdrd ( cos , sin ) . ( ) 0 2 0  =    d f r  r  rdr 极坐标系下区域的面积 .  = D  rdrd 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 0  r  ( ). D o A r =() 0    2

例1写出积分∫(x,yt的极坐标二次积分形 D 式,其中积分区域 D={(x,y)1- rsys1-x2,0≤x≤1}. X=rcos 6 解在极坐标系下 x+y= ∪y= rsing o 0.6 所以圆方程为r=1 直线方程为r= 0.2 ty sing+cos e 0.20.40.60.81 ∫(x,y)ddy=」,l!∫,f(rcse; sinO)rdr D sin 0+cos0 上页

例 1 写出积分 D f (x, y)dxdy的极坐标二次积分形 式，其中积分区域 {( , )| 1 1 , 2 D = x y − x  y  − x 0  x  1}. x + y = 1 1 2 2 解 在极坐标系下 x + y =    = =   sin cos y r x r 所以圆方程为 r = 1, 直线方程为 sin cos 1 + r = ,  D f (x, y)dxdy ( cos , sin ) . 2 0 1 sin cos   1 + =    d f r  r  rdr

例2计算e-dxdy,其中D是由中心在 D 原点,半径为a的圆周所围成的闭区域 解在极坐标系下 D:0<r≤a,0≤0≤2兀 2 ey dxdy= del e rdr 0 0 =T(1-e) 上页

例 2 计算 e dxdy D x y  − − 2 2 ，其中 D 是由中心在 原点，半径为a的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系下 D：0  r  a，0    2. e dxdy D x y  − − 2 2   −  =  a r d e rdr 0 2 0 2 (1 ). 2 a e − =  −