《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念 如果函数向量x t A t ( ) ( ) 或函数矩阵 的每一元素都是区间 a t b , 连续函数 上的 x t A t a t b ( ) ( ) , 连续 可微函数 则称 或 在 上 可微 可积函数 可积 此时,它们的导数与积分分别定义为 ' 1 ' ' 2 ' ( ) ( ) ( ) , ( ) n x t x t x t x t = ' ' ' 11 12 1 ' ' ' ' 21 22 2 ' ' ' 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t =
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 0 0 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t n t x s ds x s ds x s ds x s ds = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t n t t t t t t t n t t t t t t t n n nn t t t a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds A s ds a s ds a s ds a s ds = 注: 关于函数向量与矩阵的 微分,积分运算法则,和普 通数值函数类似
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (3 ) 矩阵向量的范数 定义 1 2 ( , , , ) ( T n ij n x x x x n n A a = = n n 对 维列向量 及 矩阵 ) ,定义它们的范数为 1 , n i i x x = = , 1 , n ij i j A a = = , , , ( ), ( ) [ , ] , 设 是 矩阵 和 是 维列向量 是在 A B n n x y n A t x t a b 上可积的函数矩阵和向量则易验证有下面的性质 0 1 , AB A B Ax A x , 0 2 , A B A B + + x y x y + + , 0 3 ( ) ( ) , b b a a x s ds x s ds ( ) ( ) , b b a a A s ds A s ds ( ). a b
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (4 ) 向量或矩阵序列的敛散性 0 1 2 1 { }, ( , , , ) , ( 1,2, , ), { } T k k k k nk ik x x x x x i i n x = = 向量序列 称为收敛的 如果 对每一个 数列 收敛. 1 2 { ( )}, ( ) ( ( ), ( ), , ( ))T k k k k nk x t x t x t x t x t a t b = 函数向量序列 称为在 收敛 ( 1,2, , ), { ( )} ik 如果对每一个 函数序列 在 i i n x t a t b = 上是收敛 (一致收敛), (一致收敛). 1 ( ) , k k x t a t b = 0 2 设 是函数向量级数 如果部分和所组成的函 数向量序列在 收敛 1 ( ) k k x t a t b = 则称 在 收敛 (一致收敛), (一致收敛)
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 如果 ( ) , , k k x t M a t b 1 k k M = 而级数 收敛, 1 ( ) k k x t a t b = 则函数向量级数 在 上一致收敛. { ( )} k 如果函数向量序列 x t a t b 在 上一致收敛,则 lim ( ) lim ( ) , b b k k k k a a x t dt x t dt → → = ( ) k x t a t b k=1 如果函数向量级数 在 上一致收敛,则 1 1 ( ) ( ) . b b k k a a k k x t dt x t dt = = =