广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件）第五章 线性微分方程组 5.1 存在唯一性定理

（2）函数向量和矩阵的连续，微分和积分的概念如果函数向量x（t）或函数矩阵A（t）的每一元素都是区间连续连续函数a≤t≤b上的则称x（t）或A(t）在a≤t<b上可微可微函数可积可积函数此时，它们的导数与积分分别定义为a.(t)aiz(t)ain(t)(x(0)··....a2n(t)a22(t)a2i(t)x2(t)A(t) =x(0)=·(0))an2(t)...amm(t)an(t)A4《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页结束下二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念 如果函数向量x t A t ( ) ( ) 或函数矩阵 的每一元素都是区间 a t b ,        连续函数 上的 x t A t a t b ( ) ( ) ,        连续 可微函数 则称 或 在 上 可微 可积函数 可积 此时,它们的导数与积分分别定义为 ' 1 ' ' 2 ' ( ) ( ) ( ) , ( ) n x t x t x t x t       =         ' ' ' 11 12 1 ' ' ' ' 21 22 2 ' ' ' 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t       =      

x,(s)ds注：关于函数向量与矩阵的微分，积分运算法则，和普Jx2(s)ds"x(s)ds=通数值函数类似x,(s)ds'ai(s)dsai,(s)dsa2(s)dsJ'aai(s)dsa2n(s)dsa22(s)ds"A(s)ds =LOan(s)dsan(s)ds(s)dsQ《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 0 0 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t n t x s ds x s ds x s ds x s ds         =               0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t n t t t t t t t n t t t t t t t n n nn t t t a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds A s ds a s ds a s ds a s ds         =                     注: 关于函数向量与矩阵的 微分,积分运算法则,和普 通数值函数类似

（3）矩阵向量的范数对n维列向量x=（x，x2,x）及nxn矩阵定义文A=（a,）nxn，定义它们的范数为[x-2x,,4- 2[a,i=1设A.B是n×n矩阵，x和y是n维列向量，A(t),x(t)是在[ab上可积的函数矩阵和向量，则易验证有下面的性质1AB≤ABAx≤Ax,2°A+B≤A+Bx+, A(s)ds≤'A(s)lds,30 x(s)ds'x(s)]ds,(a≤b).二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (3 ) 矩阵向量的范数 定义 1 2 ( , , , ) ( T n ij n x x x x n n A a  =  = n n 对 维列向量 及 矩阵 ) ,定义它们的范数为 1 , n i i x x = =  , 1 , n ij i j A a = =  , , , ( ), ( ) [ , ] , 设 是 矩阵 和 是 维列向量 是在 A B n n x y n A t x t a b  上可积的函数矩阵和向量则易验证有下面的性质 0 1 , AB A B  Ax A x  , 0 2 , A B A B +  + x y x y +  + , 0 3 ( ) ( ) , b b a a x s ds x s ds    ( ) ( ) , b b a a A s ds A s ds    ( ). a b 

（4）向量或矩阵序列的敛散性1°向量序列x,=(X，2k",）称为收敛的,如果对每一个i(i=1,2,…,n),数列(x)收敛函数向量序列(x(),x(t)=(x(t),x2(t),.,xm(t)称为在a≤t≤b收敛(一致收敛)如果对每个i（i=1,2,n），函数序列x（t在a≤t≤b上是收敛（一致收敛）802°设亡x(0)是函数向量级数,如果部分和所组成的函k=1数向量序列在a≤t<b收敛（一致收敛）8则称x(t)在a≤t≤b收敛(一致收敛)。k=1AM《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页T结束一市二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (4 ) 向量或矩阵序列的敛散性 0 1 2 1 { }, ( , , , ) , ( 1,2, , ), { } T k k k k nk ik x x x x x i i n x = = 向量序列 称为收敛的 如果 对每一个 数列 收敛. 1 2 { ( )}, ( ) ( ( ), ( ), , ( ))T k k k k nk x t x t x t x t x t a t b =   函数向量序列 称为在 收敛 ( 1,2, , ), { ( )} ik 如果对每一个 函数序列 在 i i n x t a t b =   上是收敛 (一致收敛), (一致收敛). 1 ( ) , k k x t a t b  =    0 2 设 是函数向量级数 如果部分和所组成的函 数向量序列在 收敛 1 ( ) k k x t a t b  = 则称 在   收敛 (一致收敛), (一致收敛)

如果x()≤Mk,at≤b,808而级数M，收敛，则函数向量级数x(t)在a≤t<bk=1k=1上一致收敛如果函数向量序列x（t）在a≤t≤b上一致收敛，则lim f' x (t)dt =" lim x (t)dt,k00ak8如果函数向量级数x(t)在a≤t≤b上一致收敛，则k=10021'x(0)dt ='2x(0d.k=1k=-1《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 如果 ( ) , , k k x t M a t b    1 k k M  = 而级数 收敛,  1 ( ) k k x t a t b  = 则函数向量级数 在   上一致收敛. { ( )} k 如果函数向量序列 x t a t b 在   上一致收敛,则 lim ( ) lim ( ) , b b k k k k a a x t dt x t dt → → =  ( ) k x t a t b     k=1 如果函数向量级数 在 上一致收敛,则 1 1 ( ) ( ) . b b k k a a k k x t dt x t dt   = =   =  