1.2数列极限 25 习题1.2 1.用定义证明下面的结论 1 (1)lim n5+3n=3 (2)lim sinn =0; n→om n! (3)1im(-1)r Vn+I =0 (④ =0. n→0d 2.若数列{an}(n≥1)满足条件：任给正数e,存在自然数N,使得当n>N时，有 |an-d<Me(其中M为常数)，则{an}必以a为极限. 3.证明：当且仅当(a-a）=0时，有ian=a.(数列极限的许多证明问题， 都可用同样的方法处理) 4.证明：若lim an=a,则lim lan=la;反之不一定成立（试举例说明）.但若 7● ilan=0,则有lian=0 5.证明：若lim an=0,又lbnl≤M,(n=1,2,…),则lim anbn=0. n-too 6.证明：若数列{an}满足2k+1=a,及ima2k=a,则ian=a 7.证明下列数列不收敛： ()a=(-1)n n+1 =(-)+- 8.求下列极限： 4n2+5n+2 (1)an=3”+2n+ (2)am=立+2+…+n-m 8)an=(1-)(1-)(1-nn+z),n=2,3…; (4)am=(（1-2)(1-豪)…(1-是)j (5)an=(1+q)(1+g2)(1+g4)…(1+g2"),(Iql<1). 9.若an≠0(m=1,2,…）且ian=a,能否断定im=12 10.若数列{an,{bn}满足lim an·bn=0,是否必有1iman=0或lim bn=0?若还 → 7→0 7→●0 假设lim an=a,回答同样的问题， 1→● 11.若数列{an}收敛，数列{bn}发散，则数列{an士bn},{an·bn}的收敛性如何？举 例说明.若数列{an}与{bn}皆发散，回答同样的问题， 12.下面的推理是否正确？
1.2 ê4 25 SK 1.2 1. ^½Ây²e¡(Ø: (1) limn→∞ n 5 + 3n = 1 3 ; (2) limn→∞ sin n n = 0; (3) limn→∞ (−1)n 1 √ n + 1 = 0; (4) limn→∞ n! nn = 0. 2. eê {an} (n > 1) ÷v^: ?ê ε, 3g,ê N, ¦ n > N , k |an − a| < Mε (Ù¥ M ~ê), K {an} 7± a 4. 3. y²: = limn→∞ (an − a) = 0 , k limn→∞ an = a. (ê4Nõy²¯K, Ñ^Ó{?n.) 4. y²: e limn→∞ an = a, K limn→∞ |an| = |a|; ؽ¤á (ÁÞ~`²). e limn→∞ |an| = 0, Kk limn→∞ an = 0. 5. y²: e limn→∞ an = 0, q |bn| 6 M, (n = 1, 2, · · ·), K limn→∞ anbn = 0. 6. y²: eê {an} ÷v lim k→∞ a2k+1 = a, 9 lim k→∞ a2k = a, K limn→∞ an = a. 7. y²eêØÂñ: (1) an = (−1)n n n + 1 ; (2) an = 5 1 − 2 n + (−1)n . 8. ¦e4: (1) an = 4n 2+5n+2 3n2+2n+1 ; (2) an = 1 1·2 + 1 2·3 + · · · + 1 (n−1)·n ; (3) an = 1 − 1 3 1 − 1 6 · · · 1 − 1 n(n+1)/2 , n = 2, 3, · · · ; (4) an = 1 − 1 2 2 1 − 1 3 2 · · · 1 − 1 n2 ; (5) an = (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 4 )· · ·(1 + q 2 n ), (|q| < 1). 9. e an 6= 0 (n = 1, 2, · · ·) limn→∞ an = a, UÄä½ limn→∞ an an+1 = 1? 10. eê {an}, {bn} ÷v limn→∞ an · bn = 0, ´Ä7k limn→∞ an = 0 ½ limn→∞ bn = 0? e b limn→∞ an = a, £Ó¯K. 11. eê {an} Âñ, ê {bn} uÑ, Kê {an ± bn}, {an · bn} Âñ5XÛ? Þ ~`². eê {an} {bn} uÑ, £Ó¯K. 12. e¡ín´Ä(?
26 第1章极限 (1)设数列{an}:a1=1,an+1=2an-1(n=1,2,3,…),求1iman 解：设1iman=a,在an+1=2an-1两边取极限，得a=2a-1,即a=1. (2) lim n-oo Vn2+1 Vn2+2 Vn2+n 1 =lim lim n→∞Vn2+1 +...lim 'n→oVn2+2 nsoo vn2+n =0+0+…+0=0. n个 3)1+》”=[1+-1=1 1→0 13.设数列{an}与{bn}分别收敛于a,b.若a>b,则从某一项开始，有an>bm;反过 来，若从某项开始恒有an≥bn,则a≥b. l4.设数列{an},{bn}分别收敛于a及b.记c=max(an,bn),dn=min(an,bn)(n= 1,2,….证明 lim cn max(a,b),lim dn min(a,b). n-toc n-oc 15.求下列极限： ()a+中++]月 2)in+1)*-n的，其中0<k<1与 3)1mW2.2.2…V2: (4)1imn2-n+2: (5)lim cos21+cos22+...+cos2n. 16.设a1,…,am为m个正数，证明：lim/a+a殴+…+a%=max(a1,2,…,am): 17.证明下列数列收敛： (1)am=(1-)(1-)…(1-品)月 (2)an=3十3中+…+3+ (3)an=ao+a1q+…+anq”,其中lak≤M,(k=1,2,…),而lql<1; (④a=段+器+器经+…+ 18.证明下列数列收敛，并求出其极限：
26 1 1 Ù 4 (1) ê {an} : a1 = 1, an+1 = 2an − 1 (n = 1, 2, 3, · · ·), ¦ limn→∞ an. ): limn→∞ an = a, 3 an+1 = 2an − 1 ü>4, a = 2a − 1, =a = 1. (2) limn→∞ 1 √ n2 + 1 + 1 √ n2 + 2 + · · · + 1 √ n2 + n = limn→∞ 1 √ n2 + 1 + limn→∞ 1 √ n2 + 2 + · · · + limn→∞ 1 √ n2 + n = 0 + 0 + · · · + 0 | {z } n = 0. (3) limn→∞ 1 + 1 n n = h limn→∞ 1 + 1 n in = 1n = 1. 13. ê {an} {bn} ©OÂñu a, b. e a > b, Kl,m©, k an > bn; L 5, el,m©ðk an > bn, K a > b. 14. ê {an}, {bn} ©OÂñu a 9 b. P cn = max(an, bn), dn = min(an, bn) (n = 1, 2, · · ·). y² limn→∞ cn = max(a, b), limn→∞ dn = min(a, b). 15. ¦e4: (1) limn→∞ h 1 (n+1)2 + 1 (n+2)2 + · · · + 1 (2n) 2 i ; (2) limn→∞ [(n + 1)k − n k ], Ù¥ 0 < k < 1; (3) limn→∞ ( √ 2 · √4 2 · √8 2 · · · 2√n 2); (4) limn→∞ √n n2 − n + 2; (5) limn→∞ √n cos2 1 + cos2 2 + · · · + cos2 n. 16. a1, · · · , am m ê, y²: limn→∞ pn a n 1 + a n 2 + · · · + a n m = max(a1, a2, · · · , am). 17. y²eêÂñ: (1) an = 1 − 1 2 1 − 1 2 2 · · · 1 − 1 2 n ; (2) an = 1 3+1 + 1 3 2+1 + · · · + 1 3 n+1 ; (3) an = α0 + α1q + · · · + αnq n , Ù¥ |αk| 6 M,(k = 1, 2, · · ·), |q| < 1; (4) an = cos 1 1·2 + cos 2 2·3 + cos 3 3·4 + · · · + cos n n·(n+1) . 18. y²eêÂñ,¿¦ÑÙ4:
1.2数列极限 27 (1)an=a,(c>1)月 (2)a1=,an+1-号+受，(0≤c≤1)月 (3)a>0,a>0,an+1=号(a+品)，（提示：先证明a2≥a: (④a=1,an=1+t (5)an=sinsin…sinl,(n个sin). 19.设an≤a≤bn(m=1,2,…),且1im(an-bn)=0.求证：lim an=a,ibm=a. 20.证明：若an>0,且1im=l>1.则，iman=0. 几→ 21.设{an,n}是正数列，满足2≤，n=1,2,.求证：若{n}收敛，则 {an}收敛 22.利用极限1im(1+)”=e,求下列数列的极限： 1 2n+1 n+1 (1)an= (2)an= (3)an () 1 ④)am=（1+ 23.设1iman=oo,且lbn≥b>0(n=1,2,…）.则1 im anbn=o∞. 24.确定n→oo时，元.与nsin(n≥1)是否有界，是否趋于无穷大。 25.设数列{an}由a1=1,an+1=an+(n≥1)定义.证明：an→+o∞(m→∞) 26.给出。型Stolz定理的证明
1.2 ê4 27 (1) an = n c n , (c > 1); (2) a1 = c 2 , an+1 = c 2 + a 2 n 2 , (0 6 c 6 1); (3) a > 0, a0 > 0, an+1 = 1 2 an + a an , (J«: ky² a 2 n > a.); (4) a0 = 1, an = 1 + an−1 an−1+1 ; (5) an = sin sin · · ·sin 1, (n sin). 19. an 6 a 6 bn (n = 1, 2, · · ·), limn→∞ (an−bn) = 0. ¦y: limn→∞ an = a, limn→∞ bn = a. 20. y²: e an > 0, limn→∞ an an+1 = l > 1. K limn→∞ an = 0. 21. {an}, {bn} ´ê, ÷v an+1 an 6 bn+1 bn , n = 1, 2, · · · . ¦y: e {bn} Âñ, K {an} Âñ. 22. |^4 limn→∞ 1 + 1 n n = e, ¦eê4: (1) an = 1 + 1 2n + 12n+1 ; (2) an = 1 − 1 n − 2 n+1 ; (3) an = 1 + n 2 + n n ; (4) an = 1 + 1 n3 2n 3 . 23. limn→∞ an = ∞, |bn| > b > 0 (n = 1, 2, · · ·). K limn→∞ anbn = ∞. 24. (½ n → ∞ , √n n! n sin nπ 2 (n > 1) ´Äk., ´Äªuá. 25. ê {an} d a1 = 1, an+1 = an + 1 an (n > 1) ½Â. y²: an → +∞ (n → ∞). 26. Ñ 0 0 . Stolz ½ny²
28 第1章极限 §1.3函数极限 1.3.1函数 函数就是量与量之间的对应关系.数学和其他科学中绝大部分关系都可以抽象成 函数关系.例如，自由落体下落时间t与下落距离h之间的关系是ho-h=9t2(其 中g是重力加速度)；质量是m的运动质点的动能是通过它的运动速度v按照公式 E=m2给出的；而导线中有电流通过单位时间内产生的热量与电流强度I的关系是 Q=RI2,其中R是导线的电阻；在几何中，对于给定锐角α的直角三角形，与a相邻 的直角边的长度x与三角形面积S之间的关系是S=(tana)x2;二维平面坐标中顶点 在原点的抛物线上点的横坐标与纵坐标之间的关系是y=ax2（其中a表示抛物线开 口的方向和大小).有意思的是，这里举出的例子，虽然考虑的问题不同，但抽象出来都 是同样的二次函数.当然，一般的函数更为复杂，表达方式也不尽相同 (1)基本概念 对于定义在实数集合R的子集上且取值为实数的函数，严格定义如下： 定义1.25设A是R的子集，若对于A中的每一个数x,有唯一确定的y∈R 与之对应（即函数的单值性），将y记成f(x),那么，就称∫是A上的一个实值函数. 集合A称为∫的定义域，而数f(x)称为∫的值.∫的一切值的集合叫做∫的值域，通 常记成f(A),即f(A)={y|y=f(x),x∈A}.习惯上，称上述的x为自变量，y为因 变量 一个函数，也可以看成是一个将ACR映入R内的一个映射： f:A→R,或f:x→y=f(x) 把实数与实数轴上的点一一对应，则定义在实数上、取值为实数的函数有一种几何 表示，即y=f(x)的图象.将定义域所在的数轴作为二维坐标平面Oxy的横轴、值域所 在的数轴作为纵轴，则y=f(x)的图象即是Oxy中坐标为(c,f(x)(x∈A)的点构成 的平面点集（大多数情况下，这个点集是一条（分段）曲线). 函数的单值性反映在函数的图象上，就是任何一条平行于y轴的直线，与y=f(x) 的图象至多有一个交点 设函数f的定义域为A,一般而言，其值域f(A)的性态极其复杂，但有三种情形在 微积分中特别重要， 1°函数的值域f(A)是一个有界数集.若存在一个常数M,使得f(A)包含在区间 [-M,M叫中，即对任何一个x∈A,有f(x川≤M.称满足这种情形的函数为A上的有 界函数，或者说函数f在A上有界
28 1 1 Ù 4 §1.3 ¼ê4 1.3.1 ¼ê ¼êÒ´þþméA'X. êÆÚ٦ƥýÜ©'XѱĤ ¼ê'X. ~X, gdáNeám t eáål h m'X´ h0 − h = 1 2 gt2£Ù ¥ g ´å\ݤ; þ´ m $Ä:ÄU´ÏL§$ÄÝ v Uìúª E = 1 2mv2 Ñ; ¥k>6ÏLü mS)9þ>6rÝ I 'X´ Q = 1 2RI2 , Ù¥ R ´>{; 3AÛ¥, éu½b α n/, α >Ý x n/¡È S m'X´ S = 1 2 (tan α)x 2 ; ²¡I¥º: 3:Ôþ:îIpIm'X´ y = 1 2 ax2 £Ù¥ a L«Ôm Ú¤. k¿g´§ùpÞÑ~f§,įKØÓ§ÄÑ5Ñ ´Óg¼ê. ,, ¼êE,§LªØ¦Ó. £1¤Ä Vg éu½Â3¢ê8Ü R f8þ ¢ê¼ê, î½ÂXe: ½Â 1.25 A ´ R f8, eéu A ¥zê x, k(½ y ∈ R éA£=¼êü5¤, ò y P¤ f(x), @o, Ò¡ f ´ A þ¢¼ê. 8Ü A ¡ f ½Â, ê f(x) ¡ f . f 8Ü f , Ï ~P¤ f(A), = f(A) = {y | y = f(x), x ∈ A}. S.þ, ¡þã x gCþ, y Ï Cþ. ¼ê, ±w¤´ò A ⊂ R N\ R SN: f : A −→ R, ½ f : x 7−→ y = f(x) r¢ê¢ê¶þ:éA, K½Â3¢êþ!¢ê¼êk«AÛ L«, = y = f(x) ã. ò½Â¤3ê¶I²¡ Oxy î¶!¤ 3ê¶p¶, K y = f(x) ã=´ Oxy ¥I (x, f(x)) (x ∈ A) :¤ ²¡:8£õê¹e, ù:8´^£©ã¤¤. ¼êü5N3¼êãþ, Ò´?Û^²1u y ¶, y = f(x) ãõk:. ¼ê f ½Â A, ó, Ù f(A) 54ÙE,, kn«/3 È©¥AO. 1 ◦ ¼ê f(A) ´k.ê8. e3~ê M, ¦ f(A) ¹3«m [−M, M] ¥, =é?Û x ∈ A, k |f(x)| 6 M. ¡÷vù«/¼ê A þk .¼ê, ½ö`¼ê f 3 A þk..
1.3函数极限 29 2°定义域A与值域f(A)同序（或者反序）.即A中任意两个数x1,x2的大小顺 序，均与它们对应的值域f(A)中的两个数1=f(x1),2=f(c2)的大小顺序相同（或 者相反)，此时称函数f(x)是单调的.确切地说，f(x)称为A上 单调增函数，对任意的c1,x2∈A,如果x1<x2,有f(x1)≤f(x2: 单调减函数，对任意的x1,x2∈A,如果x1<x2,有f(x1)≥f(x2): 单调增和单调减函数，统称为单调函数.若上面的不等号为严格不等号，则称(x)为严 格单调增（减）函数， 3°定义域A与值域f(A)一一对应.即对每一个y∈f(A),都有唯一确定的x∈A 使得f(x)=y.从函数图象上看，就是任何一条平行于x轴的直线，与函数的图象至多 有一个交点.此时，自然地导出一个由f(A)到A的映射.这个映射称为f(x)的反函 数（或逆映射），记为f1,即x=∫-1(y).它的定义域为f(A),值域为A 很明显，若∫是A上严格单调的函数，则∫必然是A到f(A)的一个一一映射，因 此也就有反函数， (2)函数的复合 不同的函数在他们公共有定义的区域内是可以进行加、减、乘、除四则运算的（做 除法时，只能在分母不为零的区域内进行).这里主要介绍函数的另一种运算一函数 的复合运算 设有函数y=f(,定义域为B,值域为C,u=g(x),定义域为A,如果函数g(x) 的值域g(A)包含在B内.那么由 fog(x)=f(g(x)) 定义了一个新函数f。g,称之为∫与g的复合函数，它的定义域是A.通常记为 y=f(g(x),而称u为中间变量 从映射的角度看，复合函数就是从A到B再到C的一个映射 图1.2 注意，∫。9与9。∫一般并不相同，但容易看到，复合运算满足结合律 (fog)oh=fo(goh)
1.3 ¼ê4 29 2 ◦ ½Â A f(A) ÓS£½öS¤. = A ¥?¿üê x1, x2 ^ S, þ§éA f(A) ¥üê y1 = f(x1), y2 = f(x2) ^SÓ£½ ö¤, d¡¼ê f(x) ´üN. (/`, f(x) ¡ A þ üNO¼ê, é?¿ x1, x2 ∈ A, XJ x1 < x2, kf(x1) 6 f(x2); üN~¼ê, é?¿ x1, x2 ∈ A, XJ x1 < x2, kf(x1) > f(x2); üNOÚüN~¼ê, Ú¡üN¼ê. eþ¡Ø ÒîØ Ò, K¡ f(x) î üNO£~¤¼ê. 3 ◦ ½Â A f(A) éA. =éz y ∈ f(A), Ñk(½ x ∈ A ¦ f(x) = y. l¼êãþw, Ò´?Û^²1u x ¶, ¼êãõ k:. d, g,/Ñd f(A) A N. ùN¡ f(x) ¼ ꣽ_N¤, P f −1 ,=x = f −1 (y). §½Â f(A), A. é²w, e f ´ A þîüN¼ê, K f 7,´ A f(A) N, Ï dÒk¼ê. £2¤¼êEÜ ØÓ¼ê3¦úk½Â«S´±?1\!~!¦!ØoK$£ Ø{, U3©1Ø"«S?1¤. ùpÌ0 ¼ê,«$ ¼ê EÜ$. k¼ê y = f(u), ½Â B, C, u = g(x), ½Â A, XJ¼ê g(x) g(A) ¹3 B S. @od f ◦ g(x) = f(g(x)) ½Â #¼ê f ◦ g, ¡ f g Eܼê, §½Â´ A . Ï~P y = f(g(x)), ¡ u ¥mCþ. lNÝw, EܼêÒ´l A B 2 C N ✲ ✲ ✲ x u y . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . .............. . . . . . g f ã 1.2 5¿, f ◦ g g ◦ f ¿ØÓ, N´w, EÜ$÷v(ÜÆ (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h),