20 第1章极限 对所有自然数p成立. 定理1.18(Cauchy收敛准则) 数列{an}收敛的充分必要条件是{an}是基本列 证明必要性是容易证明的，因为{an}收敛，对于任意的一个正数e,存在整数N, 使得当m,n>N时 lam-al<lan -a< 因此就有 am-an<E. 下面证明充分性.对于正数1，存在整数Ni,使得当m,n≥N1时，有lam-an<1.令 M max(lal,a2l,...,aN,aN +1). 则有lanl≤M,n=1,2,….这说明{an}是有界的.由定理1.16，存在收敛的子列 {ank. 因为{an}是基本列，所以对任意正数e,存在整数N2,使得当m,n≥N2时，有 lam-al<号 对于这个e,因为lim ang=a,存在一个整数K,使得当k>K时，有lank-a<号.特 别可取一个nk使得nk>N2且k>K.于是，当n>N2时，有 lan a an ank +ans al <2+2=e. 所以，lim an=a. 0. 注记Cauchy收敛准则是在不借助外在信息情况下，仅根据数列自身内在性态来判 断数列的收敛性.数列收敛的定义主要在于估计差值|an一@叫，但这种判断方法只是当 极限值是已知的情况下才有可能应用.而定理113给出的是一种根据数列内在单调性 判断数列是否收敛的方法.但是对于一般的数列，Cauchy收敛准则断言，一个数列收敛， 必须且只需其充分靠后的任意两项均接近到任意指定的程度 例1.2.17设an-+婴+…+物，证明：{an}收敛 证明因为 sin(n+1) sin(n+p) lan+p anl (n+1)2 +…+ (n+p)2 ≤(n+1p+…+(m+p<nn+D+…+(n+p-i)m+p 11 1 <一 nn+p n
20 1 1 Ù 4 é¤kg,ê p ¤á. ½n 1.18 (Cauchy ÂñOK) ê {an} Âñ¿©7^´ {an} ´Ä . y² 75´N´y², Ï {an} Âñ§éu?¿ê ε, 3ê N, ¦ m, n > N |am − a| < ε 2 , |an − a| < ε 2 , ÏdÒk |am − an| < ε. e¡y²¿©5. éuê 1, 3ê N1, ¦ m, n > N1 , k |am − an| < 1. - M = max(|a1|, |a2|, · · · , |aN1 |, |aN1 | + 1). Kk |an| 6 M, n = 1, 2, · · · . ù`² {an} ´k.. d½n 1.16, 3Âñf {ank }. Ï {an} ´Ä , ¤±é?¿ê ε, 3ê N2, ¦ m, n > N2 , k |am − an| < ε 2 . éuù ε, Ï lim k→∞ ank = a, 3ê K, ¦ k > K , k |ank − a| < ε 2 . A O nk ¦ nk > N2 k > K. u´, n > N2 , k |an − a| 6 |an − ank | + |ank − a| < ε 2 + ε 2 = ε. ¤±, limn→∞ an = a. . 5P Cauchy ÂñOK´3Ø/Ï 3&E¹e, =âêg S355 äêÂñ5. êÂñ½ÂÌ3uO |an − a|, ù«ä{´ 4´®¹eâkUA^. ½n 1.13 Ñ´«âêS3üN5 äê´ÄÂñ{. ´éuê, Cauchy ÂñOKäó, êÂñ, 7L IÙ¿©?¿üþC?¿½§Ý. ~ 1.2.17 an = sin 1 1 2 + sin 2 2 2 + · · · + sin n n2 , y²: {an} Âñ. y² Ï |an+p − an| = sin(n + 1) (n + 1)2 + · · · + sin(n + p) (n + p) 2 6 1 (n + 1)2 + · · · + 1 (n + p) 2 < 1 n(n + 1) + · · · + 1 (n + p − 1)(n + p) = 1 n − 1 n + p < 1 n .
1.2数列极限 21 所以，对于任意给定的正数6，取N= [目，当n>N时，对任何自然数p都有 an+p-an<E. 由Cauchy收敛准则可知{an}收敛. 例1.2.18设an=1+号+3+…+.求证：{an}发散 证明对任何自然数n,取p=n,则有 1 1、1,1 a2n-an n++n+2++n+n>2元+2玩 +…+11 2n=21 由Cauchy收敛准则可知{an}发散. 1.2.4发散到无穷大的数列 大致地说，当n无限增大时如果数列{an}(n≥1)中的通项an的绝对值任意地大， 就称该数列发散到无穷大， 定义1.19设{an}(n≥1)是给定的数列，若对于任意给定的正数M,都存在自 然数N,使得当n>N时，有lanl>M,则称数列{an}(n≥l)发散到无穷大，记作 lim an=o,或an→o(n→o) →00 必须注意的是，趋于无穷大的数列是发散的数列，因此关于极限的性质，运算和定理 等，对于这种数列一般并不成立 由定义可知，发散到无穷大的数列一定是无界的，但反之不然.例如数列 0,1,0,2,…,0,n,… 显然是无界的，但并不趋于无穷大.然而，对于单调数列，趋于无穷大与无界是等价 的（试比较定理1.13）. 定理1.20单调数列发散到无穷大的充分必要条件是其为一个无界数列 证明定理必要性证明已经在上面说明.现在证明充分性.事实上，对任意的正数 M,因为{an}无上界，故必然存在自然数N,使得av>M.由于数列是单调递增的，所 以当n>N时，有an>av>M,即lim an=o 关于单调递减数列{an}(n≥1)的情况可以类似的证明，也可以利用上面的结果， 因为{-an}(n≥1)就转化为单调递增的情况. ▣ 数列{an}(n≥1)发散于无穷大，则称当n趋于无穷时an是无穷大量.对应地，如 果一个数列{an}(n≥1)收敛于0，那么称当n趋于无穷时an是无穷小量
1.2 ê4 21 ¤±, éu?¿½ê ε, N = h 1 ε i , n > N , é?Ûg,ê p Ñk |an+p − an| < ε. d Cauchy ÂñOK {an} Âñ. ~ 1.2.18 an = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n . ¦y: {an} uÑ. y² é?Ûg,ê n, p = n, Kk a2n − an = 1 n + 1 + 1 n + 2 + · · · + 1 n + n > 1 2n + 1 2n + · · · + 1 2n = 1 2 . d Cauchy ÂñOK {an} uÑ. 1.2.4 uÑáê /`, n ÃOXJê {an} (n > 1) ¥Ï an ýé?¿/, Ò¡TêuÑá. ½Â 1.19 {an} (n > 1) ´½ê, eéu?¿½ê M, Ñ3g ,ê N, ¦ n > N , k |an| > M, K¡ê {an} (n > 1) uÑá, P limn→∞ an = ∞, ½ an → ∞ (n → ∞) 7L5¿´, ªuáê´uÑê, Ïd'u45, $Ú½n , éuù«ê¿Ø¤á. d½Â, uÑá꽴Ã., Ø,. ~Xê 0, 1, 0, 2, · · · , 0, n, · · · w,´Ã., ¿Øªuá. , , éuüNê, ªuáÃ.´ d £Á'½n 1.13¤. ½n 1.20 üNêuÑá¿©7^´ÙÃ.ê. y² ½n75y²®²3þ¡`². y3y²¿©5. ¯¢þ, é?¿ê M, Ï {an} Ãþ., 7,3g,ê N, ¦ aN > M. duê´üN4O, ¤ ± n > N , k an > aN > M, = lim an = ∞. 'uüN4~ê {an} (n > 1) ¹±aqy², ±|^þ¡(J, Ï {−an} (n > 1) Ò=züN4O¹. ê {an} (n > 1) uÑuá, K¡ n ªuá an ´Ã¡þ. éA/, X Jê {an} (n > 1) Âñu0§@o¡ n ªuá an ´Ã¡þ.
22 第1章极限 1.2.5 Stolz定理 该定理在求数列的极限时，也是常用的， 定理1.21（器型Stoz定理） 设{an},{bn}是两个数列，且{bn}严格递增趋于 +00.如果 lim an+1-an=A, n→oobn+1-bn 则有 lim an=A, n→ob 其中A可以是实数，也可以是+0或-0. 证明这里，只对A是实数的情况给予证明.不妨设{b}是正项数列.假设条件成 立，则对任意正数ε，存在自然数N1使得 A-E< anti-an <A+e,n>N1, on+1-on 由于{bn}严格单调增，所以 (A-E)(on+1-bn)<an+1-an<(A+8)(6n+1-6n),n>N1. 在上面不等式中，分别列出N1+1,N1+2,·,n-1并将所得不等式相加，得到 (A-E)(on-bN+1)<an-aN+1<(A+E)(on-bN+1). 同除以bm并整理得 aN+1_ bn 注意到{b}→+oo,对固定的N1,存在自然数N2,使得当n>N2时，有 -g<a杜-46<e bn on 取N=max{Ni,N2},于是当n>N时，有 -2e< an_A<26. ▣ 定理1.22（型Stolz定理） 设{an},{bn}是两个收敛于0的数列，且{bn}是 严格递减数列.如果 lim an+1-an=A, n→oobn+1-bn 则有 lim an =A, n→oobn 其中A可以是实数，也可以是+0或一0
22 1 1 Ù 4 1.2.5 Stolz ½n T½n3¦ê4, ´~^. ½n 1.21 ( ∞ ∞ . Stolz ½n) {an}, {bn} ´üê, {bn} î4Oªu +∞. XJ limn→∞ an+1 − an bn+1 − bn = A, Kk limn→∞ an bn = A, Ù¥ A ±´¢ê, ±´ +∞ ½ −∞. y² ùp, é A ´¢ê¹y². Ø {bn} ´ê. b^¤ á, Ké?¿ê ε, 3g,ê N1 ¦ A − ε < an+1 − an bn+1 − bn < A + ε, n > N1, du {bn} îüNO, ¤± (A − ε)(bn+1 − bn) < an+1 − an < (A + ε)(bn+1 − bn), n > N1. 3þ¡Ø ª¥, ©OÑ N1 + 1, N1 + 2, · · · , n − 1 ¿ò¤Ø ª\, (A − ε)(bn − bN1+1) < an − aN1+1 < (A + ε)(bn − bN1+1). Óر bn ¿n aN1+1 bn − AbN1+1 bn − ε 1 − bN1+1 bn < an bn − A < aN1+1 bn − AbN1+1 bn + ε 1 − bN1+1 bn . 5¿ {bn} → +∞, é½ N1, 3g,ê N2, ¦ n > N2 , k −ε < aN1+1 bn − AbN1+1 bn < ε. N = max{N1, N2}, u´ n > N , k −2ε < an bn − A < 2ε. ½n 1.22 ( 0 0 . Stolz ½n) {an}, {bn} ´üÂñu 0 ê, {bn} ´ î4~ê. XJ limn→∞ an+1 − an bn+1 − bn = A, Kk limn→∞ an bn = A, Ù¥ A ±´¢ê, ±´ +∞ ½ −∞.
1.2数列极限 23 证明留作习题， 注记 1°对于器型的Stolz定理中并没有要求数列{an}的极限一定为∞，只是为了与 吕型的Stolz定理对应，采用了记号“器” 2°两种类型的Stolz定理的逆定理并不成立.例如对an=(-1)”,bn=n,显然有 m器=0.但是1品=2(-1”的极限并不存在， 3°在$3.4中，我们将介绍求“”和“”型函数未定式极限的LHospital法则. 这里介绍的Stolz定理可以看成是一种离散形式的L'Hospital法则. 例1.2.19若1iman=a,则有 n-oo lim a1+a2+…+am=a. n→0 证明令An=a1+a2+…+am,Bn=n.则{Bn}严格递增趋于+o,且满足 -安=maa+1=a.根据So定理，即得结论. 这个例子的含义是对于一个收敛数列{an},它的前n项的算术平均所构成的数列 收敛于同一极限.根据这个结果可以证明下面例题 例1.2.20设1iman=a,lim bn=b,则 n-oo n-oo a1bn+a2bn-1+·+anb1 lim ab. n+00 证明若b=0,即bn→0，所以bnl→0.由于{an}收敛，所以有界lan≤ M,n=1,2,…,于是由例1.2.19得 a1bn+a2bn-1+·.+anb1 ≤Mb+b+…+bm→0 2 2 若b≠0，则bn-b→0，由上面的结果得 lim a1(on-b)+a2(on-1-6)+..+an(61-6) -0 n→00 2 即 lim a1bn+a2bn-1+…+anb-ba1+a2+…+an =0, n→0o n 再次利用例1.2.19即得结论 1.2.6上极限与下极限* 根据定理1.16，有界数列必有收敛子列这一小节我们考虑有界数列收敛子列极限 的最大最小值
1.2 ê4 23 y²3SK. 5P 1 ◦ éu ∞ ∞ . Stolz ½n¥¿vk¦ê {an} 4½ ∞, ´ 0 0 . Stolz ½néA, æ^ PÒ“ ∞ ∞” . 2 ◦ ü«a. Stolz ½n_½n¿Ø¤á. ~Xé an = (−1)n , bn = n, w,k limn→∞ an bn = 0. ´an+1−an bn+1−bn = 2(−1)n 4¿Ø3. 3 ◦ 3 §3.4 ¥, ·ò0 ¦ “ 0 0 ” Ú “ ∞ ∞” .¼ê½ª4 L’Hospital {K. ùp0 Stolz ½n±w¤´«lÑ/ª L’Hospital {K. ~ 1.2.19 e limn→∞ an = a, Kk limn→∞ a1 + a2 + · · · + an n = a. y² - An = a1 + a2 + · · · + an, Bn = n. K {Bn} î4Oªu +∞, ÷v limn→∞ An+1−An Bn+1−Bn = limn→∞ an+1 = a. â Stolz ½n, =(Ø. ù~f¹Â´éuÂñê {an}, §c n â²þ¤¤ê ÂñuÓ4. âù(J±y²e¡~K ~ 1.2.20 limn→∞ an = a, limn→∞ bn = b, K limn→∞ a1bn + a2bn−1 + · · · + anb1 n = ab. y² e b = 0, = bn → 0, ¤± |bn| → 0. du {an} Âñ, ¤±k. |an| 6 M, n = 1, 2, · · · , u´d~1.2.19 a1bn + a2bn−1 + · · · + anb1 n 6 M |b1| + |b2| + · · · + |bn| n → 0 e b 6= 0, K bn − b → 0, dþ¡(J limn→∞ a1(bn − b) + a2(bn−1 − b) + · · · + an(b1 − b) n = 0 = limn→∞ a1bn + a2bn−1 + · · · + anb1 n − b a1 + a2 + · · · + an n = 0, 2g|^~1.2.19 =(Ø. 1.2.6 þ4e4* â½n 1.16, k.ê7kÂñf.ù!·Äk.êÂñf4 .
24 第1章极限 从定理1.4和定理1.8，我们知道收敛数列有界，而且任何子列与原数列有相同的极 限.一个自然的问题是：当有界数列的任何收敛子列都有相同的极限时，该有界数列是 否收敛？回答是肯定的，证明留作习题.因此，有界数列如果不收敛的话，可能有许多子 列收敛到不同的极限.如果a是数列{an}的某个子列的极限，那么称a为{an}的一 个部分极限 设{an}是一个数列，定义集合 E={l∈RU{+o,-∞}：an中有子列akn→l,n→o∞} 是数列部分极限的集合，其中l=士o∞是指{a}有子列发散到士oo.集合E总是非空 的，如果{an}是有界数列，则E有界，如果数列无界，则E含有+o∞或-oo. 令a*=supE,a*=infE,他们分别被称为数列{an}的上极限和下极限，记作 lim sup an,lim inf an,或者 lim an,lim an n+0∞ n-oo n-oo n-oo 根据上确界和下确界的定义，可以证明a*和a*都在E中，因此有界数列{an}的 上（下）极限正是它的一切收敛子列的极限所组成的集合中的最大（小）者.显然下确界不 超过上确界，而且不难证明 定理1.23am→a等价于iman=lim an=a. 2→00 n→ 定理1.24 lim an lim sup ak,lim an lim inf ak n子d n→0ok≥n n→0 n+0ok≥n 证明我们只对有界数列的情况证明.设{an}是一个有界数列，则集合Bn= {a,an+l,…}是有界数集，记Bn-inf Bn=inf ak.不难看出{Bn}单调递增且 有界，因此有极限B=imBm.利用下确界的定义，可归纳地选出自然数k,使得 Bkm-1+1≤akn<Bn-1+1十员，以及kn<kn+1.因为{Bkm-1+1}作为{Bn}的子列收敛到 B,由夹逼原理知，典km=B.这说明B是一个部分极限.它也是最小的部分极限，因 为对每个e>0,存在自然数n,使得B-e<Bn.因此当k≥n时，有ak≥Bn>B-e. 由此知{an}的部分极限都不会比B-e小.因为e是任意正数，所以部分极限都不会 比B小，这说明B是最小的部分极限.即，B=man.同理可证明上极限的情况
24 1 1 Ù 4 l½n 1.4 Ú½n 1.8, ·Âñêk., ?ÛfêkÓ4 . g,¯K´: k.ê?ÛÂñfÑkÓ4, Tk.ê´ ÄÂñ? £´½, y²3SK. Ïd, k.êXJØÂñ{, UkNõf ÂñØÓ4. XJ a ´ê {an} ,f4, @o¡ a {an} Ü©4. {an} ´ê, ½Â8Ü E = {l ∈ R ∪ {+∞, −∞} : an ¥kf akn → l, n → ∞} ´êÜ©48Ü, Ù¥ l = ±∞ ´ {an} kfuÑ ±∞. 8Ü E o´ , XJ {an} ´k.ê, K E k., XJêÃ., K E ¹k +∞ ½ −∞. - a ∗ = sup E, a∗ = inf E, ¦©O¡ê {an} þ4Úe4, P lim sup n→∞ an, lim inf n→∞ an, ½ö limn→∞ an, lim n→∞ an âþ(.Úe(.½Â, ±y² a ∗ Ú a∗ Ñ3 E ¥, Ïdk.ê {an} þ(e)4´§Âñf4¤|¤8Ü¥()ö. w,e(.Ø Lþ(., ØJy² ½n 1.23 an → a du limn→∞ an = lim n→∞ an = a. ½n 1.24 limn→∞ an = limn→∞ sup k>n ak, lim n→∞ an = limn→∞ inf k>n ak. y² ·ék.ê¹y². {an} ´k.ê, K8Ü Bn = {an, an+1, · · · } ´k.ê8, P βn = inf Bn = inf k>n ak. ØJwÑ {βn} üN4O k., Ïdk4 β = lim βn. |^e(.½Â, 8B/ÀÑg,ê kn ¦ βkn−1+1 6 akn < βkn−1+1 + 1 n , ±9 kn < kn+1. Ï {βkn−1+1} {βn} fÂñ β, dY%n limn→∞ akn = β. ù`² β ´Ü©4. §´Ü©4, Ï éz ε > 0, 3g,ê n, ¦ β − ε < βn. Ïd k > n , k ak > βn > β − ε. dd {an} Ü©4Ñج' β − ε . Ï ε ´?¿ê, ¤±Ü©4Ñج ' β , ù`² β ´Ü©4. =, β = lim n→∞ an. Óny²þ4¹.