30 第1章极限 因此用fogoh表示，或者记为f(g(h(x),这是三个函数的复合.类似地可以考虑任意 有限多个函数的复合 (3)初等函数 这里，简单地罗列一些微积分中经常涉及的函数.最基本的函数是多项式函数、幂 函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数，称它们为基本初等函数.由基本初 等函数经过有限次加、减、乘、除和复合运算得出的函数称为初等函数 例1.3.1设n是非负整数，形如 f(x)=anx”+·+a1x+ao 的函数称为多项式函数.两个多项式函数f()小、g)的商得称为有理函数，它的定 义域是不包括满足9(x)=0的所有实数. 例1.3.2形如 f(x)=x 的函数称为幂函数，其中α可以是任意实数.如果α是整数，它就是有理函数；如果 a=品，m≥2，f(x)=x六=元是根式函数，如果m是偶数，∫的定义域为x≥0，如 果m是奇数，f对任意x有定义；如果α是无理数，f的定义域一般规定为x>0. 例1.3.3所谓双曲函数是指如下4个函数，它们的定义域是R sinhx= et-e- ette-x 2 cosh=2一 tanha et-e-x exte-z' cothx et+e-x ex-ez(x≠0). 它们分别称为双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数、双曲余切函数.双曲函数与 三角函数有十分相似的性质，读者可自证之 sinh(x±y）=sinh x coshy±cosh x sinh y, cosh(x±y）=cosh x cosh y±sinh x sinh y, cosh2x-sinh2=1,sinh 2x =2sinh x coshx,cosh 2x cosh2x+sinh2x. 例1.3.4求双曲正弦函数y=sinh z的反函数y=sinh-1x. 解设y=sinh-1x,x=sinhy,由 e=coshy+sinhy=V1+sinh2y+sinhy=v1+2+ 可得y=n(x+V1+x2) (4)函数的其他表达方式
30 1 1 Ù 4 Ïd^ f ◦ g ◦ h L«, ½öP f(g(h(x))), ù´n¼êEÜ. aq/±Ä?¿ kõ¼êEÜ. £3¤Ð ¼ê ùp, {ü/Û È©¥²~9¼ê. Ä ¼ê´õª¼ê! ¼ê!ê¼ê!éê¼ê!n¼ên¼ê, ¡§Ä Ð ¼ê. dÄ Ð ¼ê²Lkg\!~!¦!ØÚEÜ$Ѽê¡Ð ¼ê. ~ 1.3.1 n´Kê,/X f(x) = anx n + · · · + a1x + a0 ¼ê¡õª¼ê. üõª¼ê f(x)!g(x) û f(x) g(x) ¡kn¼ê, §½ ´Ø)÷v g(x) = 0 ¤k¢ê. ~ 1.3.2 /X f(x) = x α ¼ê¡ ¼ê, Ù¥ α ±´?¿¢ê.XJ α ´ê, §Ò´kn¼ê¶XJ α = 1 m , m > 2, f(x) = x 1 m = √m x ´ª¼ê,XJ m ´óê, f ½Â x > 0, X J m ´Ûê, fé?¿ xk½Â¶XJ α ´Ãnê, f ½Â5½ x > 0. ~ 1.3.3 ¤¢V¼ê´Xe4¼ê,§½Â´ R. sinh x = e x − e −x 2 , cosh x = e x + e −x 2 , tanh x = e x − e −x e x + e−x , coth x = e x + e −x e x − e−x (x 6= 0). §©O¡Vu¼ê!V{u¼ê!V¼ê!V{¼ê.V¼ê n¼êk©q5,Öögy. sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y, cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y, cosh2 x − sinh2 x = 1, sinh 2x = 2 sinh x cosh x, cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x. ~ 1.3.4 ¦Vu¼êy = sinh x¼êy = sinh−1 x. ) y = sinh−1 x,x = sinh y,d e y = cosh y + sinh y = q 1 + sinh2 y + sinh y = p 1 + x 2 + x y = ln(x + √ 1 + x 2 ). £4¤¼êÙ¦Lª
1.3函数极限 31 通常把函数y=f(x)的表达方式称为显式 表示或者显表示.但在实际应用中还存在函数 的其他表达方式 1°分段函数所谓分段函数，简单地讲，就 是对于自变量不同的取值范围，相应的函数表达 图1.3 式（即对应关系）不同.例如 1 x>0 y=sgn 0, x=0 -1, x<0 和 x≥0 y=f(x) x2, x<0 等等，就是这类函数.上面第一个例子称为符号函数 2°函数的隐表示即自变量和因变量之间的对应关系是通过一个方程给出来的，因 此称这类函数为隐函数.例如半径为？的圆由方程 x2+2=r2 给出.当然，从上述方程可以分别解出圆的上半部分和下半部分的显表示 y=Vr2-22, -r≤x≤r 和 y=-Vr2-x2,-r≤x≤r 但是，不是每个函数的隐表示都可以从方程中解出，例如 sin(x+y)+2x+y=0, 要想直接求解方程是十分困难的.函数的隐表示一般由下列方程给出 p(x,y）=0 对通过这样方式表示的函数，我们还将在第二册中进行更深入的讨论
1.3 ¼ê4 31 Ï~r¼ê y = f(x) Lª¡ wª ✲ ✻ r ❜ ❜ x y −1 1 ã 1.3 L« ½öwL«. 3¢SA^¥3¼ê Ù¦Lª. 1 ◦ ©ã¼ê ¤¢©ã¼ê, {ü/ù, Ò ´éugCþØÓ, A¼êL ª£=éA'X¤ØÓ. ~X y = sgn x = 1, x > 0 0, x = 0 −1, x < 0 Ú y = f(x) = x 3 , x > 0 x 2 , x < 0 ,Ò´ùa¼ê.þ¡1~f¡ÎÒ¼ê. 2 ◦ ¼êÛL« =gCþÚÏCþméA'X´ÏL§Ñ5,Ï d¡ùa¼êÛ¼ê. ~X» r d§ x 2 + y 2 = r 2 Ñ. ,, lþ㧱©O)Ñ þÜ©ÚeÜ©wL« y = p r 2 − x 2 , −r 6 x 6 r Ú y = − p r 2 − x 2 , −r 6 x 6 r ´, Ø´z¼êÛL«Ñ±l§¥)Ñ,~X sin(x + y) + 2x + y = 0, ¦)§´©(J. ¼êÛL«de§Ñ ϕ(x, y) = 0 éÏLùªL«¼ê, ·ò31þ¥?1 \?Ø.
32 第1章极限 3°函数的参数方程表示所谓参数方程表示，是指曲线上点的两个坐标x与y之间 的关系是通过一个参数相联系的，即x和y可表示成下列形式 x(t), t∈[a,3 y =y(t), 这样的参数方程表示也可以看成是从[α，)CR到平面Oxy内的一个映射 r:[a,]→R2, 映射的像是Oxy平面上一条曲线.由平面上点与向量的对应关系，可以把映射表示成 t→r(t)=(x(t),y(t)） 所以有时也称之为向量值函数注意到在函数的参数方程表示中，x和y的地位是完全平 等的， 图1.4 例如，以原点为圆心，半径为？的圆的参数方程 x=r cost,y=rsint,tE[0,27] 它在Oxy平面上的图象是一个圆，t表示圆的中心角 当一个半径为α的圆沿着x轴匀速而无滑动地滚动时，圆上一固定点P的运动轨 迹称为摆线，设t=0时P点位于原点，则在任何t时刻，P点的坐标(x,y)分别为 x=a(t-sint),y=a(1-cost). 这就是变量x和y都依赖参数t的参数方程表示 对于显式表示的函数y=(x),也可以将它看成是一个参数方程表示的函数 =E, x∈[a,b] y=(x), 这里，x扮演了参变量的角色
32 1 1 Ù 4 3 ◦ ¼êëê§L« ¤¢ëê§L«, ´þ:üI x y m 'X´ÏLëêéX, = x Ú y L«¤e/ª x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β] ùëê§L«±w¤´l [α, β] ⊂ R ²¡ Oxy SN, r : [α, β] −→ R 2 , N´ Oxy ²¡þ^.d²¡þ:þéA'X,±rNL«¤ t 7−→ r(t) = (x(t), y(t)) ¤±k¡þ¼ê.5¿3¼êëê§L«¥,x Ú y / ´ ² . ✲ t x y ✲ ✻ . . . . . . . . .............. . . ✲ ✲ ✻ ✫✪ . . . . . . . . . . . ✬✩ [ ) 0 2π t x y ã 1.4 ~X, ±: %, » r ëê§ x = r cost, y = r sin t, t ∈ [0, 2π] §3 Oxy ²¡þã´ , t L« ¥%. » a ÷X x ¶! ÃwÄ/EÄ, þ½: P $Ä; ,¡{, t = 0 P : u:,K3?Û t ,P :I (x, y) ©O x = a(t − sin t), y = a(1 − cost). ùÒ´Cþ x Úy Ñ6ëê t ëê§L«. éuwªL«¼ê y = y(x), ±ò§w¤´ëê§L«¼ê x = x, y = y(x), x ∈ [a, b] ùp, x ü ëCþÚ.
1.3函数极限 33 图1.5 然而，参数方程表示的函数（以及它对应的曲线）一般情况下却不能写出通常 的显式表示.以单位圆(r=1)为例，显然它不能表示成y=y(x)或x=x(): 因为无论在那种情况下，都无法保证单值性.但是，如果在一个局部考虑，就有可 能写出显示表达式.例如，如果只考虑上半圆，函数x=cost在(0，π)上有反函 数，所以t=cos-1x,x∈(-1,1)，代入y=sint,t∈(0，)（此时，y>0)则 y=V1-cos2(cos-1x)=V1-x2,x∈(-1,1).同理在下半圆y=-V1-x2,x∈ (-1,1).上下半圆分别有不同的显示表示. 般情况下，如果x=x(t)在某个局部存在反函数t=x-1(x),那么y=y(t)= y(x-1(x)给出x和y之间的显表示.正如上述圆的情况一样，这种显表示往往只能存 在于一个局部. 函数的参数方程表示在物理等学科应用广泛，例如观察一个质点在空间的运动，往往 把时间变量t作为参变量，空间中质点运动的轨迹（曲线）上的点就可以表示成时间t的 参数方程或向量值函数， 1.3.2函数在无穷大处的极限 类比于数列极限，我们首先讨论函数y=f(x)当|x(相当于数列的n)无限增大 时，f(x)是否有一个“确定的趋势”·当然，这里我们要求函数f(x)在x充分大时 有定义.例如，f(x)=(类比于离散的数列an=),不难看出，当lz无限增大时 f(x)=无限接近于0.也就是说，只要充分大，我们就能使接近于0达到预先 指定的程度.事实上，对于任意给定的正数e,只要>，就有片-0<ε. 定义1.26设函数y=f(x)至少在z>a>0有定义.如果有一个实数1具有 下列性质：对于任意给定的正数e,总存在一个正数X=X(E)>a,使当|z>X时有 f(x)-<E, 那么称当x趋向无穷大时，f(x)以l为极限.记成 limf(x)=l,或f(x)→l(x→o): C子C0
1.3 ¼ê4 33 0 2πa y x ✲ ✻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ã 1.5 , , ëê§L«¼ê£±9§éA¤¹e%ØUÑÏ~ wªL«. ±ü £r = 1¤~, w,§ØUL«¤ y = y(x) ½ x = x(y), ÏÃØ3@«¹e, ÑÃ{yü5. ´, XJ3ÛÜÄ, Òk UÑw«Lª. ~X, XJÄþ , ¼ê x = cost 3 (0, π) þk¼ ê, ¤± t = cos−1 x, x ∈ (−1, 1), \ y = sin t, t ∈ (0, π) £d, y > 0¤K y = p 1 − cos2 (cos−1 x) = √ 1 − x 2 , x ∈ (−1, 1). Ón3e y = − √ 1 − x 2 , x ∈ (−1, 1). þe ©OkØÓw«L«. ¹e,XJ x = x(t) 3,ÛÜ3¼ê t = x −1 (x), @o y = y(t) = y(x −1 (x)) Ñ x Ú y mwL«. Xþã ¹, ù«wL« U 3uÛÜ. ¼êëê§L«3Ôn ÆA^2,~X* :3m$Ä, rmCþ t ëCþ,m¥:$Ä;,£¤þ:Ò±L«¤m t ëꧽþ¼ê. 1.3.2 ¼ê3á?4 a'uê4, ·Äk?ؼê y = f(x) |x|£uê n¤ÃO , f(x) ´Äk/(½ª³0. ,, ùp·¦¼ê f(x) 3 |x| ¿© k½Â. ~X, f(x) = 1 x£a'ulÑê an = 1 n¤, ØJwÑ, |x| ÃO, f(x) = 1 x ÃCu 0. Ò´`, |x| ¿©, ·ÒU¦ 1 x Cu 0 ýk ½§Ý. ¯¢þ, éu?¿½ê ε, |x| > 1 ε , Òk | 1 x − 0| < ε. ½Â 1.26 ¼ê y = f(x) 3 |x| > a > 0 k½Â. XJk¢ê l äk e5: éu?¿½ê ε, o3ê X = X(ε) > a, ¦ |x| > X k |f(x) − l| < ε, @o¡ x ªÃ¡, f(x) ± l 4. P¤ limx→∞ f(x) = l, ½ f(x) → l (x → ∞).
34 第1章极限 这种定义和数列{an}以a为极限的定义基本意思是一样的.只不过数列{an}是 定义在自然数集上的函数，其自变量n离散地增加直至无穷大.而函数f(x)的自变量 x则是连续地增加直至无穷大 上述定义同样也有几何上的直观描述.即在直角坐标系Oxy中，f(x)→1(x→o∞) 等价于说，对于任意给定的正数e,在x轴上，总存在一点X,使得当x>X(或 x>X,x<-X)时，函数f(x)的图象，一定会落在以两条平行于x轴的直线 y=1-e,y=1+e所夹的狭长区域之内（图1.6）. 图1.6 类似于上述定义，我们还可以给出当x→+o时，f(x)以1为极限的定义；以及 当x→-∞时，f(x)以1为极限的定义.只要把定义1.26中的“|x>X”分别换 成“x>X”和“x<一X”即可（读者可以自行给出完整的叙述）.这两种极限分别记成 lim f(x)=l,lim f(x)=l. f(x)在正（或者负）无穷大处的极限，称为f(x)在无穷大处的（两个）单侧极限 不难看出，limf(x)存在的充分必要条件，是两个单侧极限limf(x)和limf(x)存 T x→十00 在且相等 例1.35设k是正整数，证明：m去=0. 证明对任意的正数ε，要想找到所希望的X,只要解不等式 从这个不等式解得|z>ε-1/k.所以只要取X=ε1/k,当z>X时，就能保证上列成 立，即，1im天=0 例1.3.6设0<a<1,证明：lima2=0 十●X 证明对任意给定的正数e,不妨设e<1,要使|a-0=a<e,只要 xlna <Ine
34 1 1 Ù 4 ù«½ÂÚê {an} ± a 4½ÂÄ ¿g´. ØLê {an} ´ ½Â3g,ê8þ¼ê, ÙgCþ n lÑ/O\á. ¼ê f(x) gCþ |x| K´ëY/O\á. þã½ÂÓkAÛþ*£ã. =3IX Oxy ¥, f(x) → l (x → ∞) du`, éu?¿½ê ε, 3 x ¶þ, o3: X, ¦ |x| > X£½ x > X, x < −X¤, ¼ê f(x) ã, ½¬á3±ü^²1u x ¶ y = l − ε, y = l + ε ¤Yd«S£ã1.6¤. ✲ ✻ . . . . . . . . . . . . . . . . . l − ε l l + ε x y ã 1.6 aquþã½Â, ·±Ñ x → +∞, f(x) ± l 4½Â; ±9 x → −∞ , f(x) ± l 4½Â. r½Â 1.26 ¥/|x| > X0©O ¤/x > X0Ú/x < −X0=£Öö±g1ÑQã¤. ùü«4©OP¤ lim x→+∞ f(x) = l, ½ lim x→−∞ f(x) = l. f(x) 3£½öK¤Ã¡?4, ¡ f(x) 3á?£ü¤üý4. ØJwÑ, limx→∞ f(x) 3¿©7^, ´üüý4 lim x→+∞ f(x) Ú lim x→−∞ f(x) 3 . ~ 1.3.5 k ´ê, y²: limx→∞ 1 xk = 0. y² é?¿ê ε, é¤F" X, )Ø ª 1 x k − 0 < ε. lùØ ª) |x| > ε−1/k . ¤± X = ε −1/k , |x| > X , ÒUyþ¤ á, =, limx→∞ 1 xk = 0. ~ 1.3.6 0 < a < 1, y²: lim x→+∞ a x = 0. y² é?¿½ê ε, Ø ε < 1, ¦ |a x − 0| = a x < ε, x ln a < ln ε,