1.2数列极限 15 证明设{a}(k≥1)是{an}(n≥1)的一个子列，对于任意给定的正数e,我们 要证明，存在一个正数K,使得k>K时，有lak-a<e 事实上，由于{an}收敛于a,所以对于上述的e,一定存在一个正数N,使得当 n>N时，有 an -a<E 因为m1<2<·<nk<·,而且都是正整数，所以一定存在某个K,使得当k>K 时，nk>V,于是，当k>K时，有 ank-a<E, 即lim ank=a. ▣ 从定理1.8可知，如果一个数列有两个子列分别收敛到不同的值，或者有一个子列 不收敛，那么这个数列一定没有极限.因此，这个性质通常用来判断一个数列是否发散 例1.2.12求证：数列{(-1)m}发散 证明设an=(-1)”,则它的子列{a2k}以1为极限，而子列{2k-1}以-1为极 限.故原数列发散 例1.2.13数列 1,1,1,2,1,3,…,1,n,… 有一个子列 1,2,3,…,n,… 是发散的，所以原数列发散 例1.2.14如果收敛数列的极限不为0，则这个数列中至多只有有限多项为0 证明假如数列中有无穷多项是0，则这些项可构成原数列的一个子列，它的极限 显然是0，但由定理1.8知，它的极限应该和原数列一样不为0，矛盾.故结论成立. 1.2.3实数完备性若干等价命题 本节通过介绍实数完备性的若干等价命题，了解实数完备性在极限中的基础性作 用，加深对极限理论的理解。 首先建立确界原理，为此先给出如下定义 定义1.9设XCR是一个非空集合，若存在一个实数a,使得对于任何x∈X, 有x≤a,则称a是数集X的一个上界.若存在实数b,使得对于任何x∈X,有x≥b, 则称b是数集X的一个下界.若数集X既有上界，又有下界，则称X是有界集合
1.2 ê4 15 y² {ank } (k > 1) ´ {an} (n > 1) f, éu?¿½ê ε, · y², 3ê K, ¦ k > K , k |ank − a| < ε ¯¢þ, du {an} Âñu a, ¤±éuþã ε, ½3ê N, ¦ n > N , k |an − a| < ε. Ï n1 < n2 < · · · < nk < · · · , Ñ´ê, ¤±½3, K, ¦ k > K , nk > N, u´, k > K , k |ank − a| < ε, = lim k→∞ ank = a. l½n 1.8 , XJêküf©OÂñØÓ, ½ökf ØÂñ, @oùê½vk4. Ïd, ù5Ï~^5äê´ÄuÑ. ~ 1.2.12 ¦y: ê {(−1)n} uÑ. y² an = (−1)n , K§f {a2k} ± 1 4, f {a2k−1} ± −1 4 . êuÑ. ~ 1.2.13 ê 1, 1, 1, 2, 1, 3, · · · , 1, n, · · · kf 1, 2, 3, · · · , n, . . . ´uÑ, ¤±êuÑ. ~ 1.2.14 XJÂñê4Ø 0, Kùê¥õkkõ 0. y² bXê¥káõ´ 0, Kù ¤êf, §4 w,´ 0, d½n 1.8 , §4ATÚêØ 0, gñ. (ؤá. 1.2.3 ¢ê5eZ d·K !ÏL0 ¢ê5eZ d·K, )¢ê534¥Ä:5 ^, \ é4nØn). Äkïá(.n, dkÑXe½Â ½Â 1.9 X ⊂ R ´8Ü, e3¢ê a, ¦éu?Û x ∈ X, k x 6 a, K¡ a ´ê8 X þ.. e3¢ê b, ¦éu?Û x ∈ X, k x > b, K¡ b ´ê8 X e.. eê8 X Qkþ., qke., K¡ X ´ k.8Ü.
16 第1章极限 显然，如果数集X有上界（或者下界），那么它的上界（或者下界）一定不唯一.我 们感兴趣的是最小的上界和最大的下界.所谓数集X的最小的上界a是指：第一，a是 它的一个上界；第二，任何比α小的数都不再是它的上界.用数学的语言来描述就是 定义1.10设a是数集X的上界，若对于任意的正数e,都存在一个数x:∈X, 使得xe>a-e.则称a为X的上确界，记为supX.同理可定义下确界，记为infX. 根据上（下）确界的定义容易看出，上（下）确界只要存在必定是唯一的这是因为 如果存在两个不相等的上确界a和a',不妨设a<a,那么a就不是最小上界，矛盾， 所以上确界如果存在一定唯一. 定理1.11R中任何有上（下）界的非空数集一定有上（下）确界 证明设XCR有上界.记Y={y|y∈R,y≥x,对任意的x∈X成立}，也就是 说Y为X的所有上界构成的数集.显然，X,Y满足完备性（连续性）公理的条件，因 此存在一个数a,使得对任意的x∈X,y∈Y,有x≤a≤y,即a是X最小的上界.同 理可证明下确界的存在性 口 一个数集的上（下）确界，既可以是数集中的数，也可以不是，例如 m{n=12…}=0{n=12}-1 inf{x,0≤x<1}=0,sup{x,0≤x<1}=1 利用确界原理，可以给出关于单调数列收敛性的判别法， 定义1.12数列{an}称为单调递增（或单调增）的，如果an≤an+1,(n= 1,2,…);称为单调递减（或单调减）的，如果an≥an+1,(n=1,2,….单调递增和单 调递减数列，通称单调数列！ 由极限的性质已经知道，收敛数列必有界，但有界数列未必收敛，这是因为有些数 列可以在界限范围内不断摆动（数列{(-1）n-1}就是一个典型的例子).但是对单调数 列如果有界，情况就不同了.例如，对单调增的数列{a},如果有界，等同于说它有上 界，即存在一个常数M,使得an≤M,n=1,2,·,数列的通项am随着n的增大而不 断增大，但始终受到上界的“阻拦”，具体来说，有 定理1.13单调增（减）有界数列必收敛，其极限值等于数列构成的数集的上确 界（或下确界），也称为数列的上确界（或下确界）。 证明设数列{an}单调递增有上界，因此根据确界原理（定理1.11），数集 X={a1,a2,a3,…,an,…} 必有上确界，记上确界为a,也就是说对于任意给定的正数e,数a一e不是X的上界 因此数列中存在一项aw∈X,使得aN>a-e.又因为{an}是单调递增的，所以当
16 1 1 Ù 4 w,, XJê8 X kþ.£½öe.¤, @o§þ.£½öe.¤½Ø. · a,´þ.Úe.. ¤¢ê8 X þ. a ´: 1, a ´ §þ.; 1, ?Û' a êÑØ2´§þ.. ^êÆó5£ãÒ´ ½Â 1.10 a ´ê8 X þ., eéu?¿ê ε, Ñ3ê xε ∈ X§ ¦ xε > a − ε. K¡ a X þ(., P sup X. Ón½Â e(., P inf X. âþ£e¤(.½ÂN´wÑ, þ£e¤(.37½´.ù´Ï XJ3üØ þ(. a Ú a 0§Ø a 0 < a§@o a ÒØ´þ.§gñ§ ¤±þ(.XJ3½. ½n 1.11 R ¥?Ûkþ£e¤.ê8½kþ£e¤(.. y² X ⊂ R kþ.. P Y = {y | y ∈ R, y > x, é?¿x ∈ X¤á} , Ò´ ` Y X ¤kþ.¤ê8. w,, X, Y ÷v5£ëY5¤ún^, Ï d3ê a, ¦é?¿ x ∈ X, y ∈ Y , k x 6 a 6 y, = a ´ X þ.. Ó ny²e(.35. ê8þ£e¤(.§Q±´ê8¥ê§±Ø´, ~X inf 1 n , n = 1, 2, · · · = 0, sup 1 n , n = 1, 2, · · · = 1 inf{x, 0 6 x < 1} = 0, sup{x, 0 6 x < 1} = 1 |^(.n, ±Ñ'uüNêÂñ5O{. ½Â 1.12 ê {an} ¡ üN4O£½üNO¤, XJ an 6 an+1, (n = 1, 2, · · ·); ¡ üN4~£½üN~¤, XJ an > an+1, (n = 1, 2, · · ·). üN4OÚü N4~ê, Ï¡üNê. d45®²§Âñê7k.§k.ê7Âñ§ù´Ïk ê ±3.SØä{Ä£ê {(−1)n−1} Ò´;.~f¤. ´éüNê XJk.§¹ÒØÓ . ~X§éüNOê {an}, XJk.§ Óu`§kþ .§=3~ê M, ¦ an 6 M, n = 1, 2, · · · , êÏ an X n O Ø äO, ©ªÉþ.“{:” , äN5`, k ½n 1.13 üNO£~¤k.ê7Âñ§Ù4 uê¤ê8þ( .£½e(.¤, ¡êþ(.£½e(.¤. y² ê {an} üN4Okþ., Ïdâ(.n£½n 1.11¤, ê8 X = {a1, a2, a3, · · · , an, · · · } 7kþ(., Pþ(. a, Ò´`éu?¿½ê ε, ê a − ε Ø´ X þ., Ïdê¥3 aN ∈ X, ¦ aN > a − ε. qÏ {an} ´üN4O, ¤±
1.2数列极限 17 n>N时，有an≥av>a-e显然a+e>a≥an对任何n成立.所以当n>N时， 有lan-al<e.即lim an=a. 口 例1.2.15设an-√2+√/2+…+V2(n重根式)，求1iman n-+0∞ 解an就是由如下递推关系 a1=V√2， an+1 Van +2 定义的-个数列.首先观察到：2=V√2+V2>a1,g=V2+V2+√2>V2+V反= a2.如果an>an-1成立，则 an+1-an Van +2-Van-1+2= an -an-1 Vam+2+Vam-1+2>0, 即an+1>an,所以由归纳法证得，{an}是单调递增的. 另一方面，利用归纳法，因为a1<2,a2<2,若an<2,则an+1=Van+2<2.即 数列{an}是有上界的.因此{an}收敛.设其极限为a.将递推公式变为 a7+1=an+2 在上式两端令→∞（注意上式两端的极限都已经知道是存在的，所以可以这么做）得 a2=a+2 解得a=-1或a=2.但是an>0,故a≥0，从而可知l1iman=2. n→○o 由定理1.13还将得到下面的重要结果 定理1.14设en=(1+)”,n≥1，则数列{en}收敛，并记数列{en}的极限为 e= 1+元 证明首先证明该数列是递增的.事实上，由二项式定理可得 n -*1+0-0-)-49) =1+1+2(-中)(-)(-)+() 比较en和en+1两个表达式子的右端和号中的对应项，显然，前者较小.而en+1所多出 2+1 来的一项（本） >0,故en+1>en·所以{en}为严格单调增加数列
1.2 ê4 17 n > N , k an > aN > a − ε w, a + ε > a > an é?Û n ¤á. ¤± n > N , k |an − a| < ε. = lim an = a. ~ 1.2.15 an = q 2 + p 2 + · · · + √ 2 (n ª), ¦ limn→∞ an. ) an Ò´dXe4í'X a1 = √ 2, an+1 = √ an + 2 ½Âê. Äk* : a2 = p 2 + √ 2 > a1, a3 = q 2 + p 2 + √ 2 > p 2 + √ 2 = a2. XJ an > an−1 ¤á, K an+1 − an = √ an + 2 − p an−1 + 2 = an − an−1 √ an + 2 + √ an−1 + 2 > 0, = an+1 > an, ¤±d8B{y, {an} ´üN4O. ,¡, |^8B{, Ï a1 < 2, a2 < 2, e an < 2, K an+1 = √ an + 2 < 2. = ê {an} ´kþ.. Ïd {an} Âñ. Ù4 a. ò4íúªC a 2 n+1 = an + 2 3þªüà- n → ∞£5¿þªüà4Ñ®²´3, ¤±±ùo¤ a 2 = a + 2 ) a = −1 ½ a = 2. ´ an > 0, a > 0, l limn→∞ an = 2. d½n 1.13 òe¡(J. ½n 1.14 en = 1 + 1 n n , n > 1, Kê {en} Âñ, ¿Pê {en} 4 e = limn→∞ 1 + 1 n n . y² Äky²Tê´4O. ¯¢þ, dª½n en = 1 +Xn k=1 C k n · 1 nk = 1 +Xn k=1 1 k! · n(n − 1)(n − 2)· · ·(n − k + 1) nk = 1 + 1 +Xn k=2 1 k! 1 − 1 n 1 − 2 n · · · 1 − k − 1 n , en+1 = 1 + 1 +Xn k=2 1 k! 1 − 1 n + 1 1 − 2 n + 1 · · · 1 − k − 1 n + 1 + 1 n + 1n+1 . ' en Ú en+1 üLªfmàÚÒ¥éA, w,, cö. en+1 ¤õÑ 5 1 n+1n+1 > 0, en+1 > en. ¤± {en} îüNO\ê.
18 第1章极限 其次，我们将证明数列是有界的.在en的上述展开式中 <(-)(-)(-)<1 所以 2<62+-1+品+++ 11 k=2 1 1 <2+12+2:3+ nm-可=3-是<3， n=1,2,·,也就是说数列{em}是单调递增有上界的，因此一定收敛 ▣ 注记由于2<en=(1+)”<3,所以2≤e≤3.在第三章中我们将用Taylor 公式进一步证明e是一个无理数！其数值是e=2.718281828·.注意到数列{en}的 每一项都是有理数，但是它的极限值却是无理数.由此提醒读者注意以下两点： 1°极限的理论问题首先是极限的存在性问题，一个数列的极限存在与否不仅与数 列本身的性态有关，还与数列所在的数域有关.如果限制在有理数域讨论数列的极限， 定理1.14说明，有理数域对极限运算是不封闭的，因此有必要对其进行扩充，使之成为 一个完备（连续）的数域， 2°从另一个角度看，定理1.14是用有理数列的极限来产生一个数的例子，或者说 无理数可以用有理数数列的极限表示.习题1.2中第18题(3)给出了用有理数列构 造无理数√2的例子，熟知的无理数π也可借助单位圆具有2”条边的内接正多边形面 积所构成的数列的极限来定义.这种现象不是孤立的，事实上利用有理数列的极限可以 构造所有无理数！（参见第三册） 在微积分以及在工程技术运用中，常用到以为底的对数（我们将在介绍导数时作 一种解释)，这种对数称为自然对数，简记为l.另一方面，定理1.14给出的数列极限也 是一个典型的数列极限.不少数列极限问题可以化为数的极限，请看下面例题， 例1.2.16求，im(1-)” 解 lim -)-=（+)==+)+n) =e. 作为定理1.13的一个重要应用，我们有下列区间套定理 定理1.15（区间套定理）设有一列闭区间[a,bn小，n=1,2,…,满足下列条件 1°[a1,b]p[a2,blp…p[a,bnlp… 2°limn→o∞(bn-an)=0
18 1 1 Ù 4 Ùg, ·òy²ê´k.. 3 en þãÐmª¥ 0 < 1 − 1 n 1 − 2 n · · · 1 − k − 1 n < 1. ¤± 2 < en <2 +Xn k=2 1 k! = 1 + 1 1! + 1 2! + · · · + 1 n! < 2 + 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + · · · + 1 n(n − 1) = 3 − 1 n < 3, n = 1, 2, · · · , Ò´`ê {en} ´üN4Okþ., Ïd½Âñ. 5P du 2 < en = 1 + 1 n n < 3, ¤± 2 6 e 6 3. 31nÙ¥·ò^ Taylor úª?Úy² e ´ÃnêÙê´ e = 2.718281828 · · · . 5¿ê {en} zÑ´knê, ´§4%´Ãnê e. ddJ2Öö5¿±eü:µ 1 ◦ 4nدKÄk´435¯K, ê43ÄØ=ê 5k', ê¤3êk'. XJ3knê?Øê4, ½n 1.14 `², knêé4$´Øµ4, Ïdk7éÙ?1*¿, ¦¤ £ëY¤ê. 2 ◦ l,Ýw, ½n 1.14 ´^knê45)ê~f, ½ö` Ãnê e ±^knêê4L«. SK 1.2 ¥118K£3¤Ñ ^knê EÃnê √ 2 ~f, ÙÃnê π /Ïü äk 2 n ^>Sõ>/¡ Ȥ¤ê45½Â. ù«yش᧯¢þ|^knê4± E¤kÃnê! £ë1nþ¤. 3È©±93ó§Eâ$^¥, ~^± e .éꣷò30 ê «)º¤, ù«éê¡g,éê, {P ln. ,¡, ½n 1.14 Ñê4 ´;.ê4. Øê4¯K±zê e 4, we¡~K. ~ 1.2.16 ¦ limn→∞ 1 − 1 n −n . ) limn→∞ 1 − 1 n −n = limn→∞ 1 + 1 n − 1 n = limn→∞ 1 + 1 n − 1 n−1 1 + 1 n − 1 = e. ½n 1.13 A^, ·ke«m@½n ½n 1.15 («m@½n) k4«m [an, bn], n = 1, 2, · · · , ÷ve^ 1 ◦ [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ · · · ⊃ [an, bn] ⊃ · · · 2 ◦ limn→∞(bn − an) = 0
1.2数列极限 19 则存在唯一一个点属于所有闭区间[an,bnJ,n=1,2,· 证明由条件1°知，所有区间的左端点构成的数列{an}是单调增的且以b1为上 界，所有区间的右端点构成的数列{b}是单调减的且以a1为下界.根据定理1.13，两 个数列分别收敛，记 lim an a,lim on =b. 00 因为an<bn,所以an≤a≤b≤bn.由条件2°， 0≤b-a≤lim(bn-an)=0 m→0d 所以ξ=a=b即是所求的点. 口 利用区间套定理，可以直接证明下列列紧性定理 定理1.16(Bolzano-Weierestrass定理)从任何有界的数列中可选出一个收敛的 子列 证明设{an}是一个有界的数列，不妨设{an}C[c,d.[c,生]和[生，d这两个区 间中至少有一个含有数列{an}的无穷多项，记这个区间为[c1,d4.同样，在[c,“]和 [出，d]这两个区间中至少有一个含有数列{an}的无穷多项，记这个区间为[2，d: 继续做下去，可得一列区间[ck,d],k=1,2,·,使得每个这样的区间都含有数列{an} 的无穷多项，且 [ci,d][c2,d[ck,d. 4-=2(d-d小→0，k→0， 根据定理1.15，可知 lim ck lim dk a. k→0 在[g,d1]中取数列的一项an1,接着在[c2,d]中取an2,且n2>n1.由于每一个区间 [ck,b,]中包含数列{an}的无穷多项，所以这样的选择可以继续下去并得到{an}的子列 ank∈[ck,d.根据定理1.7得1 im ank=a. 口 → 我们知道收敛数列的子列一定也收敛于同一个极限（定理1.8），即“部分服从整 体”，定理1.16的含义是即使数列发散但有界，就一定存在部分构成的子列是收敛的 定义1.l7数列{an}称为基本列，若对任意给定的正数e,存在整数N= N(e)(即N可能依赖于e),使得当m,n>N时，就有 lan aml <E. 注意，基本列的条件也可以表示成：对任意给定的正数ε，存在自然数N,使得当 n>N时，不等式 an+p-an<E
1.2 ê4 19 K3: ξ áu¤k4«m [an, bn], n = 1, 2, · · · y² d^ 1 ◦ §¤k«mà:¤ê {an} ´üNO ± b1 þ ., ¤k«mmà:¤ê {bn} ´üN~ ± a1 e.. â½n 1.13 , ü ê©OÂñ, P limn→∞ an = a, limn→∞ bn = b. Ï an < bn, ¤± an 6 a 6 b 6 bn. d^ 2 ◦ , 0 6 b − a 6 limn→∞ (bn − an) = 0 ¤± ξ = a = b =´¤¦:. |^«m@½n, ±y²e;5½n ½n 1.16 (Bolzano-Weierestrass ½n) l?Ûk.ê¥ÀÑÂñ f. y² {an} ´k.ê, Ø {an} ⊂ [c, d]. [c, c+d 2 ] Ú [ c+d 2 , d] ùü« m¥k¹kê {an} áõ, Pù«m [c1, d1]. Ó, 3 [c1, c1+d1 2 ] Ú [ c1+d1 2 , d1] ùü«m¥k¹kê {an} áõ, Pù«m [c2, d2]. UYe, «m [ck, dk], k = 1, 2, · · · , ¦zù«mѹkê {an} áõ, [c1, d1] ⊃ [c2, d2] ⊃ · · · [ck, dk] ⊃ · · · dk − ck = 1 2 k (d − c) → 0, k → 0, â½n 1.15, lim k→∞ ck = lim k→∞ dk = a. 3 [c1, d1] ¥ê an1 , X3 [c2, d2] ¥ an2 , n2 > n1. duz«m [ck, bk] ¥¹ê {an} áõ, ¤±ùÀJ±UYe¿{an} f ank ∈ [ck, dk]. â½n 1.7 lim k→∞ ank = a. ·Âñêf½ÂñuÓ4£½n 1.8¤, =/Ü©Ñl N0, ½n1.16 ¹Â´=¦êuÑk., Ò½3Ü©¤f´Âñ. ½Â 1.17 ê {an} ¡Ä , eé?¿½ê ε, 3ê N = N(ε)£= N U6u ε¤, ¦ m, n > N , Òk |an − am| < ε. 5¿, Ä ^±L«¤: é?¿½ê ε, 3g,ê N, ¦ n > N , Ø ª |an+p − an| < ε