10 第1章极限 2°若存在实数L,使得l<a(或l>a),则当n充分大时，有an>l(或an<l) 特别地，若a>0(或a<0),则当n充分大时，有an>0(或an<0). 3°若存在实数l,使得对n充分大时，有am≥l(或an≤l),则a≥l(或a≤l). 特别对充分大的n,若an≥0（或an≤0），则a≥0（或a≤0） 证明1°取e=1,由定义知道，当然存在一个自然数N,使得当n>N时，有 lan-a<l,即当n>N时，有lanl<lal+1.取 M max(la +1,lal,a2l,...,an), 注意到，第一，有限个数中一定能取到一个最大的；第二，上面确定的M显然与无关 则对所有自然数n,也就是数列的所有项，都有|an≤M. 2°若a>l,取e=a-l>0,则存在一个自然数N,使得当n>N时，有 lan-a<e=a-l,因此 -(a-1)<an-a 即，当n>N时，不等式am>l成立.对于a<的情形，可类似证明，在这种情况下，只 要取e=l-a>0即可 3°的结论实际上是2°的推论.可以采取反证法：假如结论不真，即a<1,由定理中 2°的结论，当n充分大时，就有am<1,这与给定条件相矛盾，因此结论成立. ▣ 定理1.4中的1°给出了收敛数列的一个必要条件，即收敛数列必有界.因此，无界 数列一定是发散的.例如数列0,1,0,2,0,3，…，0，n,…是一个无界数列，因此是 发散的.但是并非所有有界的数列都是收敛的，例如{(-1)n-1}是一个有界数列，但是 不收敛（见例1.2.12）.也就是说，有界不能保证收敛性.有界只是对数列每一项取值范围 的限制，是一种宏观控制，而收敛是要求数列的通项坚定不移地无限接近一个固定的数 定理1.4中的2°和3°给出的，是由数列极限值的界限推断出当n充分大时数列通 项α，的界限，以及由收敛数列通项的界限推断出其极限值的界限， 需要特别指出的是，在定理1.4（3°)中，即使是an>1(即是严格的不等式)，也不 一定能够保证a>l.例如an=是>0，但它的极限值却是0. 定理1.5设{an}和{bn}是两个收敛数列，则通过四则运算形成新的数列 {an±bn},{anbn},{}(当lim on≠0时)都收敛，且 1°lim(an±bn）=lim an±lim on. n-oc n→o n→o 2°lim anbn=lim an·lim bn,特别有lim can=c lim an.其中c是一个常数. n→ n-o lim an 3”im=m=8,其中mm≠0. n-→00 →C0 证明设lim an=a,lim on=b. n-o
10 1 1 Ù 4 2 ◦ e3¢ê l, ¦ l < a£½l > a¤, K n ¿©, k an > l£½an < l¤. AO/, e a > 0£½a < 0¤, K n ¿©, k an > 0£½an < 0¤. 3 ◦ e3¢ê l , ¦é n ¿©, k an > l£½an 6 l¤,Ka > l£½a 6 l¤. AOé¿© n, e an > 0 £½ an 6 0¤, K a > 0£½a 6 0¤. y² 1 ◦ ε = 1, d½Â, ,3g,ê N, ¦ n > N , k |an − a| < 1§= n > N , k |an| < |a| + 1. M = max(|a| + 1, |a1|, |a2|, · · · , |aN |), 5¿, 1, k꥽U; 1, þ¡(½ M w, n Ã'. Ké¤kg,ê n, Ò´ê¤k, Ñk |an| 6 M. 2 ◦ e a > l, ε = a − l > 0, K3g,ê N, ¦ n > N , k |an − a| < ε = a − l, Ïd −(a − l) < an − a =, n > N §Ø ª an > l ¤á. éua < l/§aqy²,3ù«¹e§ ε = l − a > 0 =. 3 ◦ (Ø¢Sþ´ 2 ◦ íØ.±æy{µbX(ØØý,= a < l, d½n¥ 2 ◦ (ا n ¿©§Òk an < l,ù½^gñ,Ïd(ؤá. ½n 1.4¥ 1 ◦ Ñ Âñê7^, =Âñê7k.. Ïd§Ã. ê½´uÑ. ~Xê 0, 1, 0, 2, 0, 3, · · · , 0, n, · · · ´Ã.ê, Ïd´ uÑ. ´¿¤kk.êÑ´Âñ, ~X {(−1)n−1} ´k.ê, ´ ØÂñ(~ 1.2.12). Ò´`, k.ØUyÂñ5. k.´éêz , ´«÷*, Âñ´¦êÏj½Ø£/ÃC½ê. ½n 1.4 ¥2 ◦ Ú 3 ◦ Ñ, ´dê4.íäÑ n ¿©êÏ an ., ±9dÂñêÏ.íäÑÙ4.. IAOÑ´, 3½n 1.4£ 3 ◦¤¥,=¦´ an > l£=´îØ ª¤, Ø ½U y a > l. ~X an = 1 n > 0, §4%´ 0. ½n 1.5 {an} Ú {bn} ´üÂñê, KÏLoK$/¤#ê {an ± bn} , {anbn} , { an bn } £ limn→∞ bn 6= 0 ¤ÑÂñ, 1 ◦ limn→∞ (an ± bn) = limn→∞ an ± limn→∞ bn. 2 ◦ limn→∞ anbn = limn→∞ an · limn→∞ bn, AOk limn→∞ can = c limn→∞ an. Ù¥ c ´~ê. 3 ◦ limn→∞ an bn = limn→∞ an limn→∞ bn = a b , Ù¥ limn→∞ bn 6= 0 . y² limn→∞ an = a , limn→∞ bn = b .
1.2数列极限 11 1°目的是要证明对于任意的正数e,能够找到一个正整数N,使得当n>N时，不 等式I(an±bn)-(a±b<e成立.由{an},{bn}的收敛性知，对于号，分别存在N1和 N2使得， 当n>N时，有a-d< 以及 当n>时，有-< 取N=max(N1,N2),则当n>N时，上面两个式子同时成立，所以有 a±)-a±1≤a.-a+la.-M<号+5=6. 2°注意到 anon ab anon anbanb ab an on -b+blan al. 由于{an,{bn}是收敛数列，故都是有界的，取一个大的界M,使得 lan,lbnl<M(n≥1) 因而≤M（定理1.4中的3°).对于任意的正数e,对应品，分别存在整数N和 N2,因此取N=max(Ni,N2),使得当n>N时， a-d<2品6.-M<2品 同时成立.所以当n>N时，有 lanon abl MIon -bl Mlan-al <M·2+M2=e 3°因为 1 an an'bn' bn 且b≠0，由2°可知，只需证明数列{}收敛于号即可.不妨假定b>0,则 长-动 Ion-bl bnbl 由于bm收敛于b,一方面对于正数b/2>0,存在N1,当n>N1时，有 n-1<2 由此得 bb bm>b-2=2
1.2 ê4 11 1 ◦ 8´y²éu?¿ê ε, U éê N, ¦ n > N , Ø ª |(an ± bn) − (a ± b)| < ε ¤á. d {an}, {bn} Âñ5, éu ε 2 , ©O3 N1 Ú N2 ¦, n > N1 , k |an − a| < ε 2 , ±9 n > N2 , k |bn − b| < ε 2 , N = max(N1, N2), K n > N , þ¡üªfÓ¤á, ¤±k |(an ± bn) − (a ± b)| 6 |an − a| + |bn − b| < ε 2 + ε 2 = ε. 2 ◦ 5¿ |anbn − ab| 6 |anbn − anb| + |anb − ab| = |an||bn − b| + |b||an − a|. du {an}, {bn} ´Âñê, Ñ´k., . M, ¦ |an|, |bn| < M (n > 1). Ï |b| 6 M £½n 1.4 ¥3 ◦ ¤. éu?¿ê ε , éA ε 2M , ©O3ê N1 Ú N2, Ïd N = max(N1, N2), ¦ n > N , |an − a| < ε 2M , |bn − b| < ε 2M Ó¤á. ¤± n > N, k |anbn − ab| < M|bn − b| + M|an − a| < M · ε 2M + M · ε 2M = ε. 3 ◦ Ï an bn = an · 1 bn , b 6= 0, d 2 ◦ , Iy²ê { 1 bn } Âñu 1 b =. Øb½ b > 0, K 1 bn − 1 b = |bn − b| |bnb| . dubn Âñub, ¡éuê b/2 > 0, 3N1, n > N1 ,k |bn − b| < b 2 dd bn > b − b 2 = b 2
12 第1章极限 另一方面，对于任意给定的正数e,存在N2,使得当n>N2时，有 e bn-<2 所以，当n>N=max(N1,N2)时 l8n8l 即六=名 ▣ 定理1.5说明收敛数列的极限运算和四则运算是可以交换的，并可推广到有限多个 收敛数列参与四则运算的情形.对于3°中的结论，会因为某些bm为0而使得分式没有 意义.但是因为{b}的极限b≠0，所以bm为0的项至多只有有限多个.可以改变这有 限多项的值，这不会改变{b}的收敛性和极限.或者在{器}中删除这些没有定义的有 限多项，不会改变其收敛性和极限.有了定理1.5，在计算复杂数列极限时，可以将其化 为简单极限的四则运算即可，而不必再使用“ε-”语言作繁琐的叙述. 例1.2.6求极限 lim 1+2+…+n n-00 n2 解借助limn是=0，有 lim 1+2++n lim n(n+1) lim n-o0 23 n→oo 2n2 细（2+2元 11 11 lim- 2+2in=} +0=2 例1.2.7求极限 2m+5.3m lim n→o3m+5.2n 解借助1imn→o(餐)”-0，有 2n+5.3m ()”+5 lim n→0o3n+5.2n 1+5()7=5 lim 定理1.6设数列{an}和{bn}分别收敛于a和b. 1°若当n充分大时有an≥bn,则a≥b; 2°若a>b,则当n充分大时，有an>bn 证明1°假设结论不真，即a<b.取1满足a<l<b,则由定理1.4（2°)知，当n 充分大时，即存在正数N,使得当n>N时，有an<l.同理，存在N2,当n>N2时， 有bn>l.所以当n>max(Ni,N2)时，就有an<l<bn,这与条件相矛盾，这说明假设 错误，即结论成立
12 1 1 Ù 4 ,¡, éu?¿½ê ε, 3 N2, ¦ n > N2 , k |bn − b| < b 2 ε 2 . ¤±, n > N = max(N1, N2) 1 bn − 1 b = |bn − b| |bnb| < 2 b 2 · b 2 ε 2 = ε. = limn→∞ 1 bn = 1 b . ½n 1.5 `²Âñê4$ÚoK$´±, ¿í2kõ ÂñêëoK$/. éu 3 ◦ ¥(Ø, ¬Ï, bn 0 ¦©ªvk ¿Â. ´Ï {bn} 4 b 6= 0, ¤± bn 0 õkkõ. ±UCùk õ, ùجUC {bn} Âñ5Ú4. ½ö3 { an bn } ¥íØù vk½Âk õ, جUCÙÂñ5Ú4. k ½n 1.5, 3OE,ê4, ±òÙz {ü4oK$=, Ø72¦^“ε–N”ó¡Qã. ~ 1.2.6 ¦4 limn→∞ 1 + 2 + · · · + n n2 . ) /Ï limn→∞ 1 n = 0, k limn→∞ 1 + 2 + · · · + n n2 = limn→∞ n(n + 1) 2n2 = limn→∞ 1 2 + 1 2n = 1 2 + 1 2 limn→∞ 1 n = 1 2 + 0 = 1 2 . ~ 1.2.7 ¦4 limn→∞ 2 n + 5 · 3 n 3 n + 5 · 2 n . ) /Ï limn→∞ 2 3 n = 0, k limn→∞ 2 n + 5 · 3 n 3 n + 5 · 2 n = limn→∞ 2 3 n + 5 1 + 5 · 2 3 n = 5. ½n 1.6 ê {an} Ú {bn} ©OÂñu a Ú b. 1 ◦ e n ¿©k an > bn, K a > b; 2 ◦ e a > b, K n ¿©, k an > bn. y² 1 ◦ b(ØØý, = a < b. l ÷v a < l < b, Kd½n 1.4£2 ◦¤, n ¿©, =3ê N1, ¦ n > N1, k an < l. Ón, 3 N2, n > N2 , k bn > l. ¤± n > max(N1, N2) , Òk an < l < bn, ù^gñ, ù`²b Ø, =(ؤá.
1.2数列极限 13 2°取1满足a>1>b,因为{an}的极限是a,所以由定理1.4(2°)知，存在一个 整数N1,使得n>N1时，有an>l.同理，存在一个整数N2,使得当n>N2时，有 bn<l.所以当n>max(N1,N2)时结论成立 ▣ 定理1.6说明，极限过程能够保持“顺序”，即两个数列中较大数列的极限值也较大， 反之，对极限值较大的数列，其本身也较大如果有一个数列夹在两个数列之间，当两端 的数列收敛到同一个数时，夹在当中的数列一定会“被迫”收敛到同一个数.即 定理1.7若数列{bn}和{cn}都收敛于a,且对所有充分大的n,有 bn≤an≤cn, 则数列{an}也收敛，而且极限也为a. 证明因为{b}和{c}都收敛于a,所以对于任意给定的正数e,一定存在相应的 正整数N1和N2,使得当n>N1时，bn-ad<e,当n>N2时，lcn-a<e,从而 a-E<bn;Cn<a+E. 条件中所谓“对所有充分大的n”,即表明存在整数N3,使得当n>N3时，有 bn≤an≤cn 现在取N=max(N1,N2,N3),则当n>N时，上述三个不等式同时满足，因此有 a-e<bn≤an≤cn<a+e. 即lan-adl<e,这表明{an}收敛于a, 口 注意到，这里并没有事先假定数列{an}收敛.定理1.7用来判别数列收敛是一个初 等而实用的方法，其基本精神是用已知收敛的数列，推断所考虑的数列的收敛性.关键 是对所考察的数列，能否找到另外两个具有同样极限的数列夹住它.这样不仅能够证明 被考察数列的收敛性，而且还能求出具体的极限值. 例1.2.8 求，l√1+点，其中a是给定的正实数 解当α>0时，显然有 1<1+<1+ 但m(1+)=1,而不等式的左端是一个常数列，所以应用定理1.7，所求极限为1. 例12.9求（m年++…++n 解注意到 Vn2+n≤Vn2+行+Vn2+2 Vn2+n +
1.2 ê4 13 2 ◦ l ÷v a > l > b, Ï {an} 4´ a, ¤±d½n 1.4 £2 ◦¤, 3 ê N1, ¦ n > N1 , k an > l. Ón, 3ê N2, ¦ n > N2 , k bn < l. ¤± n > max(N1, N2) (ؤá. ½n 1.6 `²§4L§U ±“^S”, =üê¥ê4. , é4ê, Ù . XJkêY3üêm, üà êÂñÓê, Y3¥ê½¬“½”ÂñÓê. = ½n 1.7 eê {bn} Ú {cn} ÑÂñu a, é¤k¿© n, k bn 6 an 6 cn, Kê {an} Âñ, 4 a. y² Ï {bn} Ú {cn} ÑÂñu a, ¤±éu?¿½ê ε, ½3A ê N1 Ú N2, ¦ n > N1 , |bn − a| < ε, n > N2 , |cn − a| < ε, l a − ε < bn, cn < a + ε. ^¥¤¢/é¤k¿© n0, =L²3ê N3, ¦ n > N3 , k bn 6 an 6 cn. y3 N = max(N1, N2, N3), K n > N , þãnØ ªÓ÷v, Ïdk a − ε < bn 6 an 6 cn < a + ε. = |an − a| < ε, ùL² {an} Âñu a. 5¿, ùp¿vk¯kb½ê {an} Âñ. ½n 1.7 ^5OêÂñ´Ð ¢^{, ÙÄ ° ´^®Âñê, íä¤ÄêÂñ5. ' ´é¤ ê, UÄé, üäkÓ4êY4§. ùØ=U y² êÂñ5, U¦ÑäN4. . ~ 1.2.8 ¦ limn→∞ q 1 + 1 nα , Ù¥ α ´½¢ê. ) α > 0 , w,k 1 < r 1 + 1 nα < 1 + 1 nα limn→∞ 1 + 1 nα = 1, Ø ªà´~ê, ¤±A^½n 1.7, ¤¦4 1. ~ 1.2.9 ¦ limn→∞ √ 1 n2+1 + √ 1 n2+2 + · · · + √ 1 n2+n . ) 5¿ n √ n2 + n 6 1 √ n2 + 1 + 1 √ n2 + 2 + · · · + 1 √ n2 + n 6 n √ n2 + 1 ,
14 第1章极限 而 2 2 Vn2+n V1+ √m2+ 1+ 因此由上一个例题的结果可知 n lim lim =1, n→∞Vn2+nn-oVn2+1 因此，所求的极限为1. 例1.2.10设a>0,求证：1ima=1 n→○ 证明当a=1时，结论是显然的.若a>1,则a>1,故可设a=1+入n(入m> 0).于是 a=(1+λn)r>1+nλn 即 0<m=a-1<a-1 由于1im号=0，故由定理1.7可得1ima=1. n-0o 若0<a<1,则日>1，故有 1 lim a= =1 n→0o lim→eV语 例1.2.11求证1im元=1. 证明命元=1+入m,则有 n=1+》r=1+n+n-2+ 2 >1+na,2 2 由上式解得入<√原故有 0<n-1=<V 由定理1.7，就得到所证结果 收敛数列的下一个性质是关于子数列的收敛问题.所谓一个数列{a}的子数 列（简称子列），是指取自原数列{a}中的无穷多项，按照原数列中同样的顺序写成的 一个新的数列.于是{an}的子列是这种形式：{a}(k≥1)，其中nk(k≥1)都是正整 数，满足n1<n2<…<k<·.因此子列会随着数列的收敛而收敛. 定理1.8设{an}收敛于a,则其任意一个子数列也收敛于a
14 1 1 Ù 4 n √ n2 + n = 1 q 1 + 1 n , n √ n2 + 1 = 1 q 1 + 1 n2 , Ïddþ~K(J limn→∞ n √ n2 + n = limn→∞ n √ n2 + 1 = 1, Ïd, ¤¦4 1. ~ 1.2.10 a > 0, ¦y: limn→∞ √n a = 1. y² a = 1 , (Ø´w,. e a > 1, K √n a > 1, √n a = 1 +λn (λn > 0). u´ a = (1 + λn) n > 1 + nλn. = 0 < λn = √n a − 1 < a − 1 n . du limn→∞ a−1 n = 0, d½n 1.7 limn→∞ √n a = 1. e 0 < a < 1, K 1 a > 1, k limn→∞ √n a = 1 limn→∞ n q 1 a = 1. ~ 1.2.11 ¦y limn→∞ √n n = 1. y² · √n n = 1 + λn, Kk n = (1 + λn) n = 1 + nλn + n(n − 1) 2 λ 2 n + · · · > 1 + n(n − 1) 2 λ 2 n , dþª) λn < q 2 n , k 0 < √n n − 1 = λn < r 2 n . d½n 1.7, Ò¤y(J. Âñêe5´'ufêÂñ¯K. ¤¢ê {an} fê £{¡f¤, ´gê {an} ¥Ã¡õ, Uìê¥Ó^S¤ #ê. u´ {an} f´ù«/ª: {ank } (k > 1), Ù¥ nk (k > 1) Ñ´ ê, ÷v n1 < n2 < · · · < nk < · · · . Ïdf¬XêÂñ Âñ. ½n 1.8 {an} Âñu a, KÙ?¿fêÂñu a.