1.1实数 5 习题1.1 1.设a是有理数，b是无理数.求证：a+b和a-b都是无理数；当a≠0时，ab和 b/a也都是无理数 2.求证：两个不同的有理数之间有无理数 3.求证：v2,√以及v2+√3都是无理数. 4.把下列循环小数表示为分数： 0.24999·,0.375,4.518 5.设T,s,t都是有理数.求证： (1)若r+sV2=0,则r=s=0: (2)若r+sV2+t3=0,则r=s=t=0. 6.设实数a1,2,…,an有相同的符号，且都大于-1.证明： (1+a1)(1+a2）…(1+an)≥1+a1+a2+·+an 7.设a,b是实数，且la<1,l<1.证明 a+b<1. 1+ab
1.1 ¢ê 5 SK 1.1 1. a ´knê, b ´Ãnê. ¦y: a + b Ú a − b Ñ´Ãnê; a 6= 0 , ab Ú b/a Ñ´Ãnê. 2. ¦y: üØÓknêmkÃnê. 3. ¦y: √ 2, √ 3 ±9 √ 2 + √ 3 Ñ´Ãnê. 4. reÌêL«©ê: 0.249 99 · · · , 0.37˙ 5˙ , 4.51˙ 8˙ 5. r, s, t Ñ´knê. ¦y: (1) e r + s √ 2 = 0, K r = s = 0; (2) e r + s √ 2 + t √ 3 = 0, K r = s = t = 0. 6. ¢ê a1, a2, · · · , an kÓÎÒ, Ñu −1. y²: (1 + a1)(1 + a2)· · ·(1 + an) > 1 + a1 + a2 + · · · + an. 7. a, b ´¢ê, |a| < 1, |b| < 1. y²: a + b 1 + ab < 1.
6 第1章极限 S1.2数列极限 1.2.1数列极限的定义 所谓数列，就是定义在自然数集上，并按照自然数顺序排列的一串实数， 01,02,···,0n;···. 通常用{an},(n≥1)这样的记号来表示，第n项an则称为这个数列的通项.或者说， 数列{an}是正整数集N+到实数集合的一个映射，n的像就是an∈R.根据实数和数 轴上点的对应，数列可以看成是数轴上的一串点.所以也称数列为点列 数列{an},(n≥1)的极限，就是研究当n无限增大时，通项am的变化趋势.例如 下面两个数列 11 1 123… 1 1 1 213…,1,… n 当n无限增大时，第一个数列的通项“无限接近”一个固定的数“0”；第二个数列则不 然，它的通项一会儿是1，一会儿接近0，其性态与第一个数列完全不同，不能“无限接 近”于任何一个固定的数 一个数列{an},(n≥1)中的通项an当n“无限增大”时“无限接近于某个实数 α”，是我们感兴趣的事情.所谓“无限接近”某个实数，即是“要说多接近就多接近”.也 就是说，如果有一个实数α，不管你预先指定“接近”的程度是多小，当n足够大后，所 有的an总能达到你的要求 因此，代替这种描述性的解释，我们必须要有刻划“接近”的度量，同时在逻辑上 对“n足够大后”以及“am与a接近程度达到要求”等这类说法赋予确切的含义， 正如上节所提到的那样，在实数集合中（或者说在实数轴上），数的绝对值自然给出 了一种度量，用以衡量两个数之间的差（或者说对应数轴上点之间的距离）.随着的 不断增大，an一a愈小，则表示an与a愈接近 以数列an=品，n≥1为例，对于固定的数“0”，如果要求是与0的接近的程度小 于10-2，那么当n>100后，所有的a-是都能满足要求：片-0<10-2：如果要求接 近的程度小于10-100，那么当n>1010后，所有的是都满足要求：片-0<10-100 一般地，如果你任意选定一个正数，并要求当n足够大后，是与0的接近程度不超 过e:片一0<e(即，不超过预先指定的接近程度).那么，n大到什么程度后，能够保 证满足你的要求呢？我们发现，对于眼前这个例子，只要n>N-[]+1(这里国表 示不超过实数x的最大整数)后，就有 --<
6 1 1 Ù 4 §1.2 ê4 1.2.1 ê4½Â ¤¢ê, Ò´½Â3g,ê8þ, ¿Uìg,ê^SüG¢ê. a1, a2, · · · , an, · · · . Ï~^ {an}, (n > 1) ùPÒ5L«, 1 n an K¡ùêÏ. ½ö`, ê {an} ´ê8 N + ¢ê8ÜN, n Ò´ an ∈ R. â¢êÚê ¶þ:éA, ê±w¤´ê¶þG:. ¤±¡ê:. ê {an}, (n > 1) 4, Ò´ïÄ n ÃO, Ï an Czª³. ~X e¡üê 1, 1 2 , 1 3 , · · · , 1 n , · · · ; 1, 1 2 , 1, 1 3 , · · · , 1, 1 n , · · · ; n ÃO, 1êÏ/ÃC0½ê/00; 1êKØ ,, §Ï¬´ 1, ¬C 0, Ù51ê ØÓ, ØU/à C0u?Û½ê. ê {an}, (n > 1) ¥Ï an n /ÃO0/ÃCu,¢ê a0, ´·a,¯. ¤¢/ÃC0,¢ê, =´/`õCÒõC0. Ò´`, XJk¢ê a, Ø+\ýk½/C0§Ý´õ, n v , ¤ k an oU\¦. Ïd, Où«£ã5)º, ·7Lky/C0Ýþ, Ó3Ü6þ é/n v 0±9/an a C§Ý¦0 ùa`{D(¹Â. Xþ!¤J@, 3¢ê8Ü¥£½ö`3¢ê¶þ¤, êýég,Ñ «Ýþ, ^±ïþüêm £½ö`éAê¶þ:mål¤. X n ØäO, |an − a| , KL« an a C. ±ê an = 1 n , n > 1 ~, éu½ê/00, XJ¦ 1 n 0 C§Ý u 10−2 , @o n > 100 , ¤k an = 1 n ÑU÷v¦: 1 n − 0 < 10−2 ; XJ¦ C§Ýu 10−100 , @o n > 10100 , ¤k 1 n Ñ÷v¦: 1 n − 0 < 10−100 . /, XJ\?¿À½ê ε, ¿¦ n v , 1 n 0 C§ÝØ L ε: | 1 n − 0| < ε£=, ØLýk½C§Ý¤. @o, n o§Ý, U y÷v\¦Q? ·uy, éuúcù~f, n > N = 1 ε + 1£ùp [x] L «ØL¢ê x ê¤, Òk 1 n − 0 = 1 n < 1 N < ε.
1.2数列极限 所以，对于任意给定一个正数ε，是否在n充分大后，数列与一个数接近的程度不超过ε 的关键，就成了是否能够找到这样的N,来刻划“n充分大后”，虽然N=N(e)的存在 可能会依赖于E,而且也不是唯一的（上面的例子看得很清楚）.通常，ε愈小，（要求愈 严)，相应的N也就愈大 定义1.2设{an}是给定的数列.如果有一个实数a具有下列性质：对任意给定 的一个正数e,总是存在一个自然数N=N(E),使得当n>N时，不等式 an-a<E 即 a-E<an<a十e 成立，那么称a是数列{an}的极限，或数列{an}以a为极限，也称数列{an}收敛于 a.记成 lim an=a,或lim an=a, 几→○ 也可以记成an→a(n→oo),称为“当n趋于无穷时，an趋于a” 有极限的数列称为收敛数列，不收敛的数列称为发散数列： 我们还需要说明上述定义的合理性，即所定义数列的极限是唯一的.我们将在极限 的性质中作出说明 数列{an}收敛于a的几何描述是：对任意的e,都有相应的自然数N,使得N以 后的所有项（或点）an都落在以a为中心，以e为半径的开区间(a-e,a+e)之中，而 落在这个区间之外的点，至多只有a1,a2,·…,av这有限几个点（如图1.1）. a1 a2 aN+1 an a3 d4 a-E a+e 图1.1 从数列极限的定义，我们看到如果数列{an}不以实数a为极限，是指：存在一个正 数eo,使得对任意自然数N,都存在比N还大的自然数n,满足|lan-a≥eo.或者从 几何上说，存在一个以a为中心的开区间，使得在此区间之外有数列{a}的无穷多项. 例1.2.1数列an=a(n=1,2,3,.),称为常数列.则lim an=a. 例12.2a>0,则m=0
1.2 ê4 7 ¤±, éu?¿½ê ε, ´Ä3 n ¿©, êêC§ÝØL ε ' , Ò¤ ´ÄU éù N, 5y/n ¿©0, , N = N(ε) 3 U¬6u ε, Ø´£þ¡~fwéÙ¤. Ï~, ε , (¦ î), A N Ò. ½Â 1.2 {an} ´½ê. XJk¢ê a äke5: é?¿½ ê ε, o´3g,ê N = N(ε), ¦ n > N , Ø ª |an − a| < ε = a − ε < an < a + ε ¤á, @o¡ a ´ê {an} 4, ½ê {an} ± a 4, ¡ê {an} Âñu a. P¤ limn→∞ an = a, ½ lim an = a, ±P¤ an → a (n → ∞), ¡/ n ªuá, an ªu a0. k4ê¡Âñê, ØÂñê¡uÑê. ·I`²þã½ÂÜn5, =¤½Âê4´. ·ò34 5¥Ñ`². ê {an} Âñu a AÛ£ã´: é?¿ ε, ÑkAg,ê N, ¦ N ± ¤k(½:) an Ñá3± a ¥%, ± ε »m«m (a − ε, a + ε) ¥, á3ù«m :, õk a1, a2, · · · , aN ùkA:£Xã1.1¤. q q q q q q q q q q ( ) ✲ a − ε a a + ε a1 a2 aN+1 an a3 a4 ã 1.1 lê4½Â, ·wXJê {an} ر¢ê a 4, ´: 3 ê ε0, ¦é?¿g,ê N, Ñ3' N g,ê n, ÷v |an − a| > ε0. ½öl AÛþ`, 3± a ¥%m«m, ¦3d«m kê {an} áõ. ~ 1.2.1 ê an = a (n = 1, 2, 3, . . .), ¡~ê. K lim an = a. ~ 1.2.2 α > 0, K lim 1 nα = 0.
8 第1章极限 证明对任意给定的正数ε，解不等式 --< 得，n>()/a,所以只要取 当n>N时，就有|是-0<e.由定义可知1im是=0. 例1.2.3设数列a1=0.9,a2=0.99,a3=0.999,…,证明1iman=1. 证明注意到1-am=,对任意给定的e>0,取N=og如(（) +1,当 n>N时， lan-11=10m<e. 所以lim an=1. 因为e的作用是刻划am与a接近的程度，我们只对它越小越感兴趣.为方便起见， 有时也可限定ε的一个上界，这并不影响极限的讨论 例1.2.4设q是一个给定的实数，满足lq<1.求证：1imq”=0. →● 证明当q=0时，结论显然成立，故以下假设q≠0.为了论证方便，设任意给定 的正数e满足e<1.直接解不等式 g-0=gm<E, 得nIn al<ne.由于0<lql<1,并且已经假设0<e<1,故Inlal<0,lne<0,因此 有n>骺 根据这些分析，只要取 N in lal] +1, 则当n>N时，就有 lq”-0l<e. 即limq”=0, ● 例1.2.5证明1im器=0. 证明设ε是任意给定的一个正数，要想效仿前面的例子，从不等式|器-0= 器<e中直接找出一个V并不容易.好在只要求N是存在的，所以我们可以将估计 器-0适当放大，方便求解N.由 - 2.2…2 1.2… 2n 24
8 1 1 Ù 4 y² é?¿½ê ε, )Ø ª 1 nα − 0 = 1 nα < ε , n > 1 ε 1/α , ¤± N = " 1 ε 1/α# + 1, n > N, Òk 1 nα − 0 < ε . d½Â lim 1 nα = 0. ~ 1.2.3 ê a1 = 0.9, a2 = 0.99, a3 = 0.999, · · · §y² lim an = 1. y² 5¿ 1 − an = 1 10n§é?¿½ ε > 0§ N = log10 1 ε + 1, n > N § |an − 1| = 1 10n < ε, ¤± lim an = 1. Ï ε ^´y an a C§Ý, ·é§a,. Bå§ k½ ε þ.§ù¿ØK4?Ø. ~ 1.2.4 q ´½¢ê, ÷v |q| < 1. ¦y: limn→∞ q n = 0. y² q = 0 , (Øw,¤á, ±eb q 6= 0. ØyB, ?¿½ ê ε ÷v ε < 1. )Ø ª |q n − 0| = |q| n < ε, n ln |q| < ln ε. du 0 < |q| < 1, ¿ ®²b 0 < ε < 1, ln |q| < 0, ln ε < 0, Ïd k n > ln ε ln |q| . âù ©Û, N = ln ε ln |q| + 1, K n > N ,Òk |q n − 0| < ε. = limn→∞ q n = 0. ~ 1.2.5 y² limn→∞ 2 n n! = 0. y² ε ´?¿½ê, c¡~f, lØ ª 2 n n! − 0 = 2 n n! < ε ¥éÑ N ¿ØN´. Ð3¦ N ´3, ¤±·±òO 2 n n! − 0 ·§B¦)N. d 2 n n! − 0 = 2 · 2 · · · 2 1 · 2 · · · n < 2 · 2 n = 4 n ,
1.2数列极限 9 所以解不等式是<e,得n>.故取N=[目+1，则当n>N时，有 4 <e. 利用极限的定义，可以证明一些简单数列的收敛性.然而，这个过程实际上是预先 看出具体的极限值，再根据定义来验证.对一些较为复杂的数列，一方面它的极限值未 必容易观察；另一方面，即使观察出极限，利用定义来验证也可能相当困难.因此，进一 步了解数列收敛性的性质，可以加深对收敛性的认识，扩大计算极限的范围， 1.2.2收敛数列的性质 本节将讨论收敛数列的一些基本性质.在理解和证明这些性质的过程中，关于数列 收敛的几何解释是非常有帮助的 定理1.31°若{an}是收敛数列，则{an}的极限是唯一的 2°改变数列中有限多项的值，不影响数列的收敛性及其极限 证明1°如果{an}有两个极限值a和b.根据极限的定义，对于任意的正数e,注 意到号也是一个正数，因此对应两个极限值，分别存在正整数N1和N2,使得当 n>时有a-a< n>2时有lam-1<2 因此，当n>max(Ni,N2)时（即n同时满足n>Ni,n>N2),上面两个不等式都满 足，所以 la-l=la-an)+(an-b1≤a-d+la.-l<号+号=c 两个数的距离要小于任意一个正数，这两个数必须相等，即α=b. 从几何上看，如果有两个不相等的极限值a和b,则一定存在分别以a和b为中心、 且没有公共点的两个开区间(a-e,a+e)和（亿-e,b+e)(事实上，只要取e< 2 即可).根据极限的定义，当n充分大后，an既要落到第一个开区间中，又要落到第二个 开区间中去.这显然是不可能的 2°因为极限的定义完全取决于充分大以后的各项取值的趋势，所以，改变有限项的 值不会影响充分大以后的事情 口 定理1.4设{an}为收敛数列，极限值记为a.则 1°{an}为有界数列.即存在一个正数M(与变量n无关)，使得lanl≤M对所 有的n=1,2,3,·成立
1.2 ê4 9 ¤±)Ø ª 4 n < ε, n > 4 ε . N = 4 ε + 1, K n > N, k 2 n n! − 0 = 2 n n! < 4 n < 4 N < ε. |^4½Â, ±y² {üêÂñ5. , , ùL§¢Sþ´ýk wÑäN4, 2â½Â5y. é E,ê, ¡§4 7N´* ; ,¡, =¦* Ñ4, |^½Â5yU(J. Ïd, ? Ú )êÂñ55, ±\ éÂñ5@£, *O4. 1.2.2 Âñê5 !ò?ØÂñê Ä 5. 3n)Úy²ù 5L§¥, 'uê ÂñAÛ)º´~kÏ. ½n 1.3 1 ◦ e {an} ´Âñê, K {an} 4´. 2 ◦ UCê¥kõ, ØKêÂñ59Ù4. y² 1 ◦ XJ {an} kü4 a Ú b. â4½Â, éu?¿ê ε ,5 ¿ ε 2 ´ê, ÏdéAü4, ©O3ê N1 Ú N2, ¦ n > N1 k |an − a| < ε 2 , n > N2 k |an − b| < ε 2 , Ïd, n > max(N1, N2) £= n Ó÷v n > N1, n > N2¤, þ¡üØ ªÑ÷ v, ¤± |a − b| = |(a − an) + (an − b)| 6 |an − a| + |an − b| < ε 2 + ε 2 = ε. üêålu?¿ê, ùüê7L , = a = b. lAÛþw, XJküØ 4 a Ú b, K½3©O± a Ú b ¥%! vkú:üm«m (a − ε, a + ε) Ú (b − ε, b + ε)£¯¢þ, ε < |a−b| 2 =¤. â4½Â, n ¿©, an Qá1m«m¥, qá1 m«m¥. ùw,´ØU. 2 ◦ Ï4½Â ûu¿©±ª³, ¤±, UCk جK¿©±¯. ½n 1.4 {an} Âñê, 4P a.K 1 ◦ {an} k.ê. =3ê M£Cþ n Ã'¤, ¦ |an| 6 M é¤ k n = 1, 2, 3, · · · ¤á.