$74级数的应用·……… 277 7.4.1用级数方法计算积分 277 7.4.2近似计算.····· 278 7.4.3微分方程的幂级数解 279 7.4.4 Stirling公式....... 281 习题74········ 284 第7章综合习题····· 284
V §7.4 ? ê A^ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 277 7.4.1 ^ ? ê{ O È © · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 277 7.4.2 C q O · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 278 7.4.3 © § ? ê ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 279 7.4.4 Stirling ú ª · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 281 S K7.4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 284 1 7 Ù n Ü S K · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 284
第1章 极限 微积分实际上是用微分和积分的方法来研究变量，大体上可分为微分部分、积分部 分和它们之间的关系这三个部分.现在公认为微积分是由Newton(牛顿)和Leibniz (莱布尼兹)发明的.微积分的基础是极限理论，在微积分发展初期，极限的概念从 逻辑上来说很不严密，从而造成长达两百年之久的争论.直到19世纪初Cauchy（柯 西)、Veierstrass(魏尔斯特拉斯)、Riemann(黎曼)等人在前人工作的基础上逐步完成 了极限理论的严格化，这种争论才算结束.极限理论严格化的标志性节点是实数理论的 建立，而极限理论的严格化以及后来微积分的进一步发展都离不开对实数集合的讨论， §1.1 实数 有关实数理论的详细讨论将在第三册中展开，作者也可以从其他教学参考书中得到 更多信息这里仅做描述性介绍并陈述一些基本事实， 1.1.1整数与有理数 自然数是一切数的出发点.通常用N表示自然数集合 N={0,1,2,3,…} 自然数集对加法运算封闭，即任意两个自然数a和b,他们的和a+b还是自然数.自然 数集对减法运算不封闭，对加减法运算封闭的数集是整数集合 Z={0,±1，±2，±3，…}， 它是自然数集的一个扩充.如果考虑乘法运算，则整数集对乘法运算封闭，但对乘法运 算的逆运算一除法运算不封闭.在整数集合中添加整数相除的商，就得到有理数的全 体 Q=号19∈么，4≠0， 它对加减乘除四则运算封闭，也称Q为有理数域 在数的发展之初，主要是用来计数和丈量线段的长度.但是由勾股定理可知边长为 1的正方形的对角线长度a满足a2=2（这个数记为a=√2)，这样的数是不能用有 理数表示的，因此必须引入更多的数
1 1 Ù 4 È©¢Sþ´^©ÚÈ©{5ïÄCþ, Nþ©©Ü©!È©Ü ©Ú§m'XùnÜ©. y3ú@È©´d Newton £Úî¤Ú Leibniz £4ÙZ[¤u². È©Ä:´4nØ, 3È©uÐÐÏ, 4Vgl Ü6þ5`éØî, l E¤üzcÈØ. 19 VÐ Cauchy£ ܤ!Weierstrass£dA.d¤!Riemann£iù¤ <3c<óÄ:þÅÚ¤ 4nØîz, ù«Øâ(å. 4nØîzI5!:´¢ênØ ïá, 4nØîz±95È©?ÚuÐÑlØmé¢ê8Ü?Ø. §1.1 ¢ê k'¢ênØ[?Øò31nþ¥Ðm, ö±lÙ¦ÆëÖ¥ õ&E.ùp=£ã50 ¿ã Ä ¯¢. 1.1.1 êknê g,ê´êÑu:. Ï~^ N L«g,ê8Ü N = {0, 1, 2, 3, · · · } g,ê8é\{$µ4, =?¿üg,ê a Ú b, ¦Ú a + b ´g,ê. g, ê8é~{$ص4, é\~{$µ4ê8´ê8Ü Z = {0, ±1, ±2, ±3, · · · }, §´g,ê8*¿. XJĦ{$, Kê8é¦{$µ4, é¦{$ _$ Ø{$ص4. 3ê8Ü¥V\êØû, Òknê N Q = { p q | p, q ∈ Z, q 6= 0}, §é\~¦ØoK$µ4, ¡ Q knê. 3êuÐÐ, Ì´^5OêÚàþãÝ. ´d½n> 1 /éÝ a ÷v a 2 = 2 £ùêP a = √ 2¤, ùê´ØU^k nêL«, Ïd7LÚ\õê.
2 第1章极限 1.1.210进制小数 每个有理数都可以表示为小数的形式，如 2 5=0.125,=0.3333 =0.181818.. 一般地，一个（正）十进制小数a是指 a=a0.a1a2an·, 其中a0是一个非负十进制整数，a1,a2…∈{0,1,2,3,4,5,6,7,9，a也可以记为 a=++器+0 如果小数点后边只有有限个数不是0，称α是有限小数：如果小数点后面的数是循环出 现的，既存在自然数n,k使得an+i=an+i+k对i=1,2,3,·均成立，称小数a是循环 小数，记为 a=a0.ala2...anan+1...an+k. 每一个有理数都可以写成有限小数或循环小数.反之，每一个有限小数或循环小数 都是有理数.例如，循环小数a=0.158是有理数： 1000a=158.158 999a=158 158 a= 9991 无限不循环小数称为无理数.有理数和无理数通称实数，全体实数的集合记为R, 实数有多种构造方式，彼此等价.以上我们用10进制表示实数是一种直观的描述 1.1.3实数域 实数域（即实数的全体）是有理数域的扩充，除了与有理数域一样对加、减、乘、除 四则运算封闭外，还具有以下基本特点，即 完备性（连续性）公理设X和Y是实数集R中的两个非空子集，并满足对于任 何x∈X,y∈Y,有x≤y,那么一定存在一个介于X和Y之间的实数，即存在c∈R, 使得对任何x∈X,y∈Y,有x≤≤y: 实数的完备性公理是实数理论的基础，但该公理对有理数域并不成立.例如对于有 理数域Q的两个子集 X={x|x∈Q,x2<2,x>0,Y={y|y∈Q,y2>2,y>0} 就不存在介于两者之间的一个有理数.尽管如此，有理数域在实数域内具有稠密性，即
2 1 1 Ù 4 1.1.2 10 ?ê zknêѱL«ê/ª, X 1 8 = 0.125, 1 3 = 0.3333 · · · , 2 11 = 0.181818 · · · /, £¤?ê a ´ a = a0.a1a2 · · · an · · · , Ù¥ a0 ´K?ê, a1, a2 · · · ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}, a ±P a = a0 + a1 10 + a2 102 + · · · an 10n + · · · . XJê:>kkêØ´ 0, ¡ a ´kê: XJê:¡ê´ÌÑ y, Q3g,ê n, k ¦ an+i = an+i+k é i = 1, 2, 3, · · · þ¤á, ¡ê a ´Ì ê, P a = a0.a1a2 · · · ana˙ n+1 · · · a˙ n+k. zknêѱ¤kê½Ìê. , zkê½Ìê Ñ´knê. ~X, Ìê a = 0.15˙ 8˙ ´knê, 1000a = 158.15˙ 8˙ 999a = 158 a = 158 999 . ÃØÌê¡Ãnê. knêÚÃnêÏ¡¢ê, N¢ê8ÜP R. ¢êkõ«Eª, *d d. ±þ·^10 ?L«¢ê´«*£ã. 1.1.3 ¢ê ¢ê£=¢ê N¤´knê*¿, Ø knêé\!~!¦!Ø oK$µ4 , äk±eÄ A:§= 5£ëY5¤ún X Ú Y ´¢ê8R ¥üf8, ¿÷véu? Û x ∈ X, y ∈ Y , k x 6 y, @o½30u X Ú Y m¢ê, =3 c ∈ R, ¦é?Û x ∈ X, y ∈ Y , k x 6 c 6 y. ¢ê5ún´¢ênØÄ:§Túnéknê¿Ø¤á. ~Xéuk nê Q üf8 X = {x | x ∈ Q, x2 < 2, x > 0}, Y = {y | y ∈ Q, y2 > 2, y > 0} ÒØ30uüömknê. ¦+Xd, knê3¢êSäkÈ5, =
1.1实数 3 定理1.1 任何两个实数（不管是有理数还是无理数）之间一定存在一个有理数， 证明设a,b∈R满足a<b,不妨设b-a<1,则 b-a= Cn Cn+1 10n+ 10n++…, 其中n≥0，cm≥1.所以 10m+1(b-a)>1,或10m+1b>1+10+1a 取10m+1al为10n+1a表示成无穷小数后的整数部分，它满足 [10m+1al≤10m+a<[10m+1a+1 综合上述不等式，不难发现有理数c=+满足a<c<b. 0 1.1.4数轴 在直线1上标定一个点为原点，并规定其右侧为正向，取一个长度为单位长，标定 了原点、单位长和方向的直线称为数轴.一个基本事实是：数轴上的点与实数是一一对 应的.例如依单位长度往正向逐次丈量，就得到自然数在数轴上对应的点，同理往原点 左侧的丈量得到负整数对应的点， 为描述有理数对应的点，设数轴上1对应的点为A,过原，点作一条异于数轴的直线 1',对任意的自然数n>0,在1'上取点A,B满足OA'=n,OB=1,过点B作线段 AF的平行线，交数轴于B点，则OB=。利用OB作为新的尺度逐次丈量，可以在 数轴上表出所有有理数， 如果数轴上一个点A不能对应任何一个有理数，则点A将数轴分成左边和右边两 部分.设左边部分那些点对应的有理数集合记为X,右边那些点对应的有理数集合记为 Y,显然对任意x∈X,y∈Y,有x<y根据实数完备性（连续性）公理，存在一个实数 a介于X,Y之间，这个数就与点A对应 与点对应的数也称为点的坐标.正是基于这种对应关系，在今后的讨论中，不再严 格区分数轴上点和其对应的实数（点的坐标）.甚至将整数（或有理数、无理数）对应的 点称为整数点（或有理点、无理点）. 数轴上一点A到原点O的距离就是对应实数的绝对值.绝对值满足 1°a≥0，等号成立当且仅当a=0,即正定性： 2°a-b=lb-a,即对称性： 3°a+≤l1a+M,即三角不等式 以上三条正是定义距离的三个要素.当然，绝对值还有其他一些性质，不再赘述
1.1 ¢ê 3 ½n 1.1 ?Ûü¢ê£Ø+´knê´Ãnê¤m½3knê. y² a, b ∈ R ÷v a < b, Ø b − a < 1, K b − a = cn 10n + cn+1 10n+1 + · · · , Ù¥n > 0, cn > 1. ¤± 10n+1(b − a) > 1, ½ 10n+1b > 1 + 10n+1a [10n+1a] 10n+1a L«¤Ã¡êêÜ©, §÷v [10n+1a] 6 10n+1a < [10n+1a] + 1 nÜþãØ ª, ØJuyknê c = 1+[10n+1a] 10n+1 ÷v a < c < b. 1.1.4 ê¶ 3 l þI½::, ¿5½Ùmý§Ýü §I½ :!ü Ú¡ê¶. Ä ¯¢´: ê¶þ:¢ê´é A. ~Xü Ý Ågàþ, Òg,ê3ê¶þéA:§Ón : ýàþKêéA:. £ãknêéA:, ê¶þ 1 éA: A, L:^Éuê¶ l 0 , é?¿g,ê n > 0§3 l 0 þ: A0 , B0 ÷v OA0 = n, OB0 = 1§L: B0 ã AA0 ²1§ê¶u B :§K OB = 1 n "|^ OB #ºÝÅgàþ, ±3 ê¶þLѤkknê. XJê¶þ: A ØUéA?Ûknê, K: A ò궩¤>Úm>ü Ü©. >Ü©@ :éAknê8ÜP X, m>@ :éAknê8ÜP Y , w,é?¿ x ∈ X, y ∈ Y , k x < y â¢ê5£ëY5¤ún, 3¢ê a 0u X, Y m, ùêÒ: A éA. :éAê¡:I. ´Äuù«éA'X, 38?Ø¥§Ø2î «©ê¶þ:ÚÙéA¢ê£:I¤. $òꣽknê!Ãnê¤éA :¡ê:£½kn:!Ãn:¤. ê¶þ: A : O ålÒ´éA¢êýé |a|. ýé÷v 1 ◦ |a| > 0, Ò¤á = a = 0, =½5; 2 ◦ |a − b| = |b − a|, =é¡5; 3 ◦ |a + b| 6 |a| + |b|, =nØ ª. ±þn^´½Âåln. ,, ýékÙ¦ 5§Ø2Kã.
4 第1章极限 设a,b∈R,a<b,集合(a,b)={x∈Ra<x<b}称为以a,b为端点的开区间，集 合[a,)={x∈Ra≤x≤b}称为以a,b为端点的闭区间，它们对应数轴上以点ab为端 点的线段，开区间不含端点，闭区间包含端点。 同样可以定义半开半闭区间 (a,={x∈R|a<x≤b},[a,b)={x∈R|a≤x<b} 记号“∞”称为“无穷”，”+∞”称为正无穷，”一0”称为负无穷，注意，无论是正无穷还 是负无穷，它们不是一个数，但可以利用它们表示无限区间 (-o,a)={x∈R|x<a},(-o,a={x∈R|x≤a}: (a,+o)={x∈R|x>a},[a,+o)={x∈R|x≥a} 以后经常用到的是以一点为中心的开区间(a-6,a+)={x|z-al<6},称为 a的一个邻域.而用集合{x|0<z-al<6}表示去掉中心点的邻域，有时用它来刻 画“点a的附近
4 1 1 Ù 4 a, b ∈ R, a < b§8Ü(a, b) = {x ∈ R|a < x < b}¡±a, bà:m«m§8 Ü[a, b] = {x ∈ R|a 6 x 6 b}¡±a, bà:4«m§§éAê¶þ±:a, bà :ã§m«mعà:§4«m¹à:" Ó±½Âm4«m (a, b] = {x ∈ R | a < x 6 b}, [a, b) = {x ∈ R | a 6 x < b}. PÒ/∞0¡/á0§”+∞”¡Ã¡§”−∞”¡Ká§5¿§Ãشá ´K᧧ش꧱|^§L«Ã«m (−∞, a) = {x ∈ R | x < a}, (−∞, a] = {x ∈ R | x 6 a}, (a, +∞) = {x ∈ R | x > a}, [a, +∞) = {x ∈ R | x > a}. ±²~^´±:¥%m«m(a − δ, a + δ) = {x | |x − a| < δ}, ¡ a . ^8Ü {x | 0 < |x − a| < δ} L«K¥%:§k^§5 x“: a NC”.