例1设总体X服从[u,b上的均匀分布,a,b未知, X 1412,· X为来自总体X的样本,试求a,b的 矩估计量 解|1=EX)=2 a+6 H2se(x2)=D(X)+E(R(b-a)2(a+6)2 12 由矩估计法,令 a+b X-∑(Xx-x), n i=1 (b-a)2,(a+b) 44B=F+/33 ∑ X.-X 2 12 n i=1
例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知， X1 , X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量． + + − = = + = + = = 4 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) [ ( )] , 2 ( ) 2 2 2 2 2 1 b a a b E X D X E X a b E X 解 由矩估计法,令 = + + − = + 2 2 2 1 4 ( ) 12 ( ) 2 A b a a b A a b = + − = − − 3( ) ˆ ˆ 3( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 b A A A a A A A = = = + − = − − n i i n i i X X n b X X X n a X 1 2 1 2 ( ) 3 ˆ ( ) , 3 ˆ
例2设总体X的均值E(X=,方差D(X=02都存在, 且G2>0.但,G2均为未知.X1,X2,…,Xn为来自总体 X的样本,求H,G2的矩估计量 解「1=E(X) A2=E(x2)=D(X+E(X)2=a2+2 由矩估计法令H=41, a2+u2=A2(p=X, A=X ∑ (X;-X 总体均值与方差的矩估计量的表达式 不因不同的总体分布而不同
= = + = + = = 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) E X D X E X 解 E X + = = 2 2 2 1 , A A 由矩估计法,令 总体均值与方差的矩估计量的表达式 不因不同的总体分布而不同． ˆ = A1 = X 2 2 1 2 ˆ = A − A 例2 设总体X的均值E(X)=, 方差D(X)=2 都存在, 且2 >0.但 ,2 均为未知. X1 , X2 , …,Xn为来自总体 X的样本, 求,2 的矩估计量. = − = = n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 ˆ ˆ ,
常见分布的参数矩估计量 (1)若总体X~b(1,p),则未知参数P的矩估计量为 (2)若总体X-b(N,p),则未知参数p,N的矩估计量为 ∑(X1-x2 N ,p=1- i=1 X-∑(X-x)2
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为 p ˆ = X (2)若总体X~b(N, p), 则未知参数p , N的矩估计量为 ➢常见分布的参数矩估计量 X X X n p X X n X X N n i i n i i = = − = − − − = 1 2 1 2 2 ( ) 1 , ˆ 1 ( ) 1 ˆ
(3)若总体X~N(μ22,则未知参数μ2的矩估计量为 x,G2=1∑(x2-x)2 n (4)若总体X~mλ),则未知参数A的矩估计量为 =,或元=1y (X1-X)2 i=1 点估计的矩估计法要求总体原点矩存在,而有些随机变量的 原点矩不存在,就不能用此法进行参数估计。此外,矩估计 有时不唯一;再者它没有利用总体分布函数所提供的信息, 因此很难保证它有优良的性质
(3)若总体X~ N(,2 ), 则未知参数,2的矩估计量为 = = = − n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 ˆ ,ˆ (4)若总体X~ (), 则未知参数 的矩估计量为 , ˆ = X = = − n i Xi X n 1 2 ( ) 1 ˆ 或 点估计的矩估计法要求总体原点矩存在，而有些随机变量的 原点矩不存在，就不能用此法进行参数估计。此外，矩估计 有时不唯一；再者它没有利用总体分布函数所提供的信息， 因此很难保证它有优良的性质
二、最大似然估计法 最大似然估计法是目前仍然得到最广 泛应用的一种方法,它是建立在极大似然 原理的基础上的一个统计方法。 最大似然法原理的直观想法:“概率最大的事件 最可能出现”.例如有一个事件若知道它出现的概率 只能是001或099而在一次观测中此事件出现此时 自然会说它的概率应为099因此参数估计的极大似 然法是要选取这样的值来作为参数的估计值,使得当 参数取这一数值时,观测结果出现的可能性为最大
二、最大似然估计法 最大似然估计法是目前仍然得到最广 泛应用的一种方法，它是建立在极大似然 原理的基础上的一个统计方法。 最大似然法原理的直观想法: “概率最大的事件 最可能出现”. 例如有一个事件,若知道它出现的概率 只能是0.01或0.99,而在一次观测中,此事件出现,此时 自然会说它的概率应为0.99.因此,参数估计的极大似 然法是要选取这样的值来作为参数的估计值,使得当 参数取这一数值时,观测结果出现的可能性为最大