8一11如图8一11所示，电荷±Q分别均匀分布在两个半径为R的半细圆 环上.求：(1)带电圆环偶极矩的大小和方向；(2)等效正、负电荷中心的位置. 分析(1)电荷分布呈轴对称，将细环分割成长度均为d:的线元，带正电荷 的上半圆环线元与带负电荷的下半圆环对称位置 ds y 上的线元构成一元电偶极子，细圆环总的偶极矩等 于各元电偶极矩之和，有 p=dpj (2)由于正、负电荷分别对称分布在y轴两 侧，我们设想在y轴上能找到一对假想点，如果该 带电环对外激发的电场可以被这一对假想点上等 量的点电荷所微发的电场代替，这对假想点就分别 图8-1山 称作正、负等效电荷中心.等效正负电荷中心一定 在y轴上并对中心O对称.由电偶极矩p可求得正、负等效电荷中心的间距，并 由对称性求得正、负电荷中心。 解《1)将圆环沿y轴方向分制为-一组相互平行的元电偶极子，每一元电 阀极子带电士dg=±录ds=±d0 dp =2Roos 0dqj=2Reo 0doj 则带电圆环的电偶极矩 dp-40k1 (2)等效正、负电荷中心间距为 1=pQ=4级 根据对称性正、负电荷中心在y轴上，所以其坐标分别为(0,2强)）和0，-2因)】 也可以借助几何中心的定义，得 =家R如0：R49=0 y=±JRas9,R9=士2级 即正、负电荷中心分别在y轴上距中心0为士2迟处
8一12设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试 计算通过此半球面的电场强度通量 分析方法1：由电场强度通盘的定义，对半球 面S求积分，即s=」E·dS 方法2：作半径为R的平面S与半球面S一起 可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 中E·d=2g=0 这表明穿过闭合曲面的净通量为琴，穿人平面S的 电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强 度通量.因而 图8-12 Φ=JE·ds=-JE·ds 解1取球坐标系，电杨强度矢量和面元在球坐标系中可表示为@ EE(cos ee sin pcos de sin dsin e,) ds=R2sin Odedpe, Φ=jE·ds=JER2sin2 Osinpd8dp nR2E 解2由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有 p=Jg·ds=-E·ds 依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向， 重2-E·πR2·0不2xR2E