16-1一个10H的线圈与两个电容为5.0pF和20.0pF的电容器分别 构成LC电路，问固有振荡频率各为多少？ 分析在LC电路中，一且有能量激发（如开始时电容器上带电荷），则在回 路中将有周期性变化的电流.此时极板上电荷的变化满足方程dq/dt2+wq= 0,这与力学中简谐运动的傲分方程相似，其中w=1/√LC称为LC振荡电路的 固有振荡角频率，利用该式即可求解. 解由分析可得LC电路的振荡频率为 v=尝=2x元 当线圈自感L=10H,电容分别为C1=5.0pF和C2=20.0pF时，LC电路的 固有振荡频率分别为 1=1/2π√C1=2.25×10?z 2=1/2π√LC2=1.13×103Hz
16-2在一个LC振荡电路中，若电容两极板上的交变电压U=(50V) cos(10πs1)t,电容C=1.0×10-7F,电路中的电阻可以忽略不计.求：(1)振 荡的周期；(2)电路中的自感；(3)电路中的电流随时间变化的规律. 分析在不计电阻的前提下，该LC电路是无阻尼自由振荡电路，在振荡过 程中电容器两极板上的电压、电荷及电路中的电流均以相同的周期变化着.振荡 周期为T=2π√LC.因此，本题可通过已知的电压的角频率w,求出振荡周期， 然后可求出自感L·另外，电容器极板上电压U、电荷g始终满足关系式q= CU.因此，在确定q=q(t)后，根据电流定义I=dqdt,可求出电流的变化规 律. 解(1)从题中已知的电压变化关系中得振荡周期为 T=2x/w=2.0×10-4s (2)由振荡电路周期T=2π√LC得电路中的自感为 L=T2142C=1.01×10-2H (3)电路中电流随时间变化的规律为 I=dg/dt=C·dUU/dt=-(0.157A)sin(104πs1)t
16-3若收音机调谐电路所用的线圈自感为260H,要想收听到535kz 到1605kHz的广播，问与线圈相连接的电容的最大值和最小值各应为多少？ 分析该调谐电路实为LC振荡电路，其频率为y=1/2π√LC.当自感L 一定时，调谐频率越高，所需电容越小。 解由分析可知，当L一定时，对应于最低收听频率ym=535kHz所需电 容的值为 Cmnx 422nL=340pF 对应于最高收听频率ymx=1605kHz,所需电容的值为 Coin4 vi L =37,8F
16-4用一个电容可在10.0pF到360.0pF范围内变化的电容器和一个 自感线圈并联组成无线电收音机的调谐电路.(1)该调谐电路可以接收的最大和 最小频率之比是多少？(2)为了使调谐频率能在5.0×10Hz到1.5×10Hz的 频率范围内，需在原电容器上并联一个多大的电容？此电路选用的自感应为多 大？ 分析参见上题的分析，当自感L一定时，要改变调谐频率的范围，只斋改 变电容的变化范围.本题采用并联电容C的方法使电容由原有的变化范围C ~C改变为Cmm+C~Cma+C,从而达到新的调谐目的.为此，可根据v= 1/2π√LC,由原有电容比Cmax/Cnin来确定对应的频率比ymax/ymin.再由新要求 的频率比来确定需要并联的电容的大小. 解(1)当线圈自感L一定时，由v=1/2π√LC,可得 yma/ymin÷√CC=6.0 (2)为了在5.0×10Hz一1.5×10°Hz的频率范围内调谐，应满足 v'ma/yi=√(Cmx+C)(Cmi血+C) 由此得在原电容器上需并联的电容为 C=Cmg-Cn(yey （ma/Vinin)2-1 -=33.75pF 此电路选用的线圈自感为 L =1/4122C =1/4n2vin Cmox +C) =2.58×10-4H
16-5已知LC电路中的电场能量和磁场能量之和为一常量.试由此导出 LC电路的振荡方程 分析图16-5为LC无阻尼振荡电路.在振荡过程中，电场能量（电容器 贮存的能量)为C22,磁场能量（自感线圈贮 存的能量)为L2,由题意可列出能量守恒方 程.由于电压U=U(t)及电路中的电流I=I (t)都是随时间变化的，为导出振荡方程必须将 它们统一为同一个变量.为此，利用电流定义1 =dq/dt和电容定义C=g/U建立电压与电流 关系I=I(U),从而导出振荡方程. 图16-5 解设电路总能量为E,由能量守恒可得 L22+CLU22÷E (1) 电容C=q/U,则I=dq/dt=CdU/dt,代入式(1)，并将该式对t求导可得 c器+U=0 (2) 令w=√1C,则式(2)可改写为 d2Uldt2+w2U=0 这就是LC电路的振荡方程