设在某极限过程中,函数f(x)、g(x)的极限 limf(x)、limg(x)存在,则 imn[f(x)±g(x)=imf(x)±lmg(x) 2. lim kf(x)=kmf(x)(为常数) 3. lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x) f(x) lim f(x) (limg(x)≠0) g(x) lim g(x) 5. limlf(x)l=[lim f(x) 6.若在极限过程中f(x)≥g(x), 则limf(x)≥lmg(x)
设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则 ( lim ( ) 0 ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) 4. lim = g x g x f x g x f x 2. lim k f (x) = k lim f (x) (k为常数) 3. lim f (x)g(x) = lim f (x)lim g(x) 1. lim[ f (x) g(x)] = lim f (x) lim g(x) 5. lim[ ( )] [lim ( )] n n f x = f x lim ( ) lim ( ) 6. ( ) ( ), f x g x f x g x 则 若在极限过程中
注:)法则1、3可推广至有限个函数的情形 法则6中∫(x)≥g(x)换成f(x)>g(x) 其极限仍为lmf(x)≥lmg(x) 由极限运算理论根据中的定理及无穷小量的 运算法则,容易证明上述各公式 请同学们课后看书中的证明
法则 1、3 可推广至有限个函数的情形. 法则6 中 f (x) g(x) 换成 f (x) g(x) 其极限仍为 lim f (x) lim g(x) . 注： 由极限运算理论根据中的定理及无穷小量的 运算法则, 容易证明上述各公式. 请同学们课后看书中的 证明
复合函数的极限 设y=f((x)是由y=f()及l=(x)复合而成 由极限的概念可知 limp(x)=0,即V>0,3>0,当x∈U(x2)时, 有∈U(0,) limf(u)=a,即VE>0,37>0,当∈U(l1,m)时, 有y∈U(a2) VE>0→>36>0,x∈U(x020)→>∈U(lb,0) →y∈U(a2E) 有什么问题没有?
复合函数的极限 设 y = f ((x)) 是由y = f (u)及u = (x)复合而成. 由极限的概念可知: U( , ). 有 u u0 U( , ) , ˆ lim ( ) , 0 , 0 , 0 0 f u a 即 当u u 时 u u = → 有 y U(a, ). U( , ) , ˆ lim ( ) , 0 , 0 , 0 0 0 x u 即 当x x 时 x x = → U( , ) U( , ) ˆ 0 0, → x x0 → u u0 → y U(a, ). 有什么问题没有？
7.复合函数的极限计算 是函数f(u)的“自变量” 定理 l是l在定义域内的值 设y=f((x)是由y=f()及l=(x)复合而成 若lm(x)=l,且在U(x)内(x)≠l0,又有 x→>xo lim f(u)=a, ny lim f(o(x))=lim f(u)=a x→ u->u0 注意这个条件,缺了它定理不一定成立
7. 复合函数的极限计算 定理 设 y = f ((x)) 是由y = f (u)及u = (x)复合而成. U( ) ( ) , ˆ lim ( ) , 0 0 0 0 若 x u 且在 x 内 x u 又有 x x = → lim ( ) , lim ( ( )) lim ( ) . 0 0 0 f u a f x f u a u u x x u u = = = → → → 则 注意这个条件, 缺了它定理不一定成立. . ( ) , 0 是 在定义域内的值 是函数 的“自变量” u u u f u