(7) axdydz+(a+z)dxdy (x2+y2+2)2-(a>0),其中∑是下半球面= 方向取上侧; (8)[d2+x在+d山,其中∑是 (x2+y2+2)32 i)椭球面x2+2y2+32=1,方向取外侧 i)抛物面l-三=(x-2)2,(y-1)2 (二≥0),方向取上侧。 10.利用 Gauss公式证明阿基米德原理:将物体全部浸没在液体中时,物体所受的浮力等 于与物体同体积的液体的重量,而方向是垂直向上的 11.设某种流体的速度场为ν=yzi+x+xk,求单位时间内流体 (1)流过圆柱:x2+y2≤a2,0≤z≤h的侧面(方向取外侧)的流量 (2)流过该圆柱的全表面(方向取外侧)的流量。 12.利用 Stokes公式计算下列曲线积分: (1)y+db+xt,其中L是球面x2+y2+2=a2与平面x+y+二=0的交 线(它是圆周),从x轴的正向看去,此圆周的方向是逆时针方向 (2)j3x+5od-2y,其中L是圆柱面x2+y2=1与平面z=y+3的交线(它 是椭圆),从z轴的正向看去,是逆时针方向 (3)中(y--)x+(x-x)dy+(x-y)l,其中L为圆柱面x2+y2=a2和平面 +=1(a>0.h>0)的交线(它是椭圆),从x轴的正向看去,是逆时针方向 3 )「(y2-=2)x+(2-x2)+(x2-y2),其中L是用平面x+y+z=截 立方体0≤x,y,z≤1的表面所得的截痕,从x轴的正向看去,是逆时针方向 (5)(x2-y)d+(y2-x)d+(x2-xy)d,其中L是沿着螺线 x= a cos p,y=asin,z=从点A(a,0,0)至点B(a,O,h)的路径: (6)j(2-=2)dk+(2-x)d+(3x2-y2)k,其中L是平面x+y+=2与 柱面|x|+|yF=1的交线,从z轴的正向看去,是逆时针方向 13.设f()是R上恒为正值的连续函数,L是逆时针方向的圆周(x-a)2+(y-a)2=1。 证明 xf(y )a x≥2 14.设D为两条直线y=x,y=4x和两条双曲线xy=1,xy=4所围成的区域,F(u)是 具有连续导数的一元函数,记f(n)=F'(u)。证明 d=hn2”f(u)dh, 其中OD的方向为逆时针方向 15.证明:若Σ为封闭曲面,I为一固定向量,则
（7） ∫∫ Σ + + + + 2 2 2 1/ 2 2 ( ) ( ) x y z axdydz a z dxdy（ a > 0 ），其中Σ是下半球面 2 2 2 z = − a − x − y ， 方向取上侧； （8） ∫∫ Σ + + + + 2 2 2 3 / 2 (x y z ) xdydz ydzdx zdxdy ，其中Σ是 i）椭球面 2 3 1，方向取外侧； 2 2 2 x + y + z = ii）抛物面 + − − = 16 ( 2) 5 1 2 z x ( 0) 9 ( 1) 2 ≥ − z y ，方向取上侧。 10． 利用 Gauss 公式证明阿基米德原理：将物体全部浸没在液体中时，物体所受的浮力等 于与物体同体积的液体的重量，而方向是垂直向上的。 11．设某种流体的速度场为v = yzi + xzj + xyk ，求单位时间内流体 （1） 流过圆柱： xya z 的侧面（方向取外侧）的流量； 2 2 2 + ≤ , 0 ≤ ≤ h 2 （2） 流过该圆柱的全表面（方向取外侧）的流量。 12．利用 Stokes 公式计算下列曲线积分： （1） ∫ + + ，其中 是球面 与平面 L ydx zdy xdz L x y z a 2 2 2 + + = x + +y z = 0 的交 线（它是圆周），从 x 轴的正向看去，此圆周的方向是逆时针方向； （2）∫ + − ，其中 是圆柱面 与平面 L 3zdx 5xdy 2ydz L x y 2 2 + = 1 z y = + 3的交线（它 是椭圆），从 z 轴的正向看去，是逆时针方向； （3） ∫ − + − + − L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz ，其中 L 为圆柱面 x y a 和平面 2 2 + = 2 x a z h + = 1 0 ( , a h > > 0) 的交线（它是椭圆），从 x 轴的正向看去，是逆时针方向； （4） ∫ − + − + − ，其中 是用平面 L ( y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 L x y + + z = 3 2 截 立方体0 ≤ x, , y z ≤ 1的表面所得的截痕，从 x 轴的正向看去，是逆时针方向； （5） ∫ − + − + − ，其中 是沿着螺线 L (x yz)dx ( y xz)dy (z xy)dz 2 2 2 L x = a cosϕ ， ϕ π ϕ 2 sin , h y = a z = 从点 A a( ,0 0, ) 至点 B a( ,0,h) 的路径； （6） ，其中 是平面 与 柱面 ∫ − + − + − L ( y z )dx (2z x )dy (3x y )dz 2 2 2 2 2 2 L x + y + z = 2 | x | + | y |= 1的交线，从 z 轴的正向看去，是逆时针方向。 13．设 f (t) 是 R 上恒为正值的连续函数，L 是逆时针方向的圆周 。 证明 ( ) ( ) 1 2 2 x − a + y − a = 2π ( ) ( ) − ≥ ∫ dx f x y xf y dy L 。 14．设D为两条直线 y = x ，y = 4x 和两条双曲线 xy = 1，xy = 4 所围成的区域， 是 具有连续导数的一元函数，记 F(u) f (u) = F′(u) 。证明 ∫ ∫ = ∂ 4 1 ln 2 ( ) ( ) dy f u du y F xy D ， 其中∂D 的方向为逆时针方向。 15．证明：若Σ为封闭曲面， l 为一固定向量，则 6
∫ jcos(n, )ds=0 其中n为曲面∑的单位外法向量 16.设区域Ω由分片光滑封闭曲面∑所围成。证明: dxdydz =l cos(r, n)ds 其中n为曲面E的单位外法向量,r=(x,y),r=√x2+y2+2。 17.设函数P(x,y,z),Q(x,y,)和R(x,y,=)在R上具有连续偏导数。且对于任意光滑曲 面∑,成立 ∫ph+ghd+Rhdy=0 证明:在R3上 aP a0 OR 0 8.设L是平面 x cos a+ ncos B+ =cosy-p=0上的简单闭曲线,它所包围的区域D的 面积为S,其中(cosa,cosB,cosy)是平面取定方向上的单位向量。证明 ds S=lcos cos B cosy y 其中L的定向与平面的定向符合右手定则 习题14.4 1.计算下列微分形式的外微分 1)1-形式O=2xdx+x2dh (2)1-形式 2形式O=6dxAd-xaxA在 2.设O=a1(x1)dx1+a2(x2)dx2+…+an(xn)dxn是R”上的1-形式,求do 3.设O=a1(x2,x)dx2dx3+a2(x1,x3)dx3Adtx+a3(x1,x2)dtr1∧dx2是R上 的2形式,求do 4.设在R3上在一个开区域Ω=(a,b)×(c,d)x(e,∫)上定义了具有连续导数的函 (y),试求形如 o=b,()dx+b2(=)dy+b(x)da 的1-形式O,使得 do=a, (=)dy ad=+a2(x)d=Adx+a3 ()dx A dy )是R"上的2-形式,证明 d
cos( , ) = 0 ∫∫ Σ n l dS ， 其中n为曲面Σ的单位外法向量。 16．设区域Ω 由分片光滑封闭曲面Σ 所围成。证明： ∫∫∫ ∫∫ Ω Σ = dS r dxdydz cos( , ) 2 1 r n , 其中 n为曲面Σ的单位外法向量, r = (x, y,z) ， 2 2 2 r = x + y + z 。 17．设函数 P(x, y,z), Q(x, y,z) 和 R( , x y z, ) 在 3 R 上具有连续偏导数。且对于任意光滑曲 面Σ ，成立 + + = 0 ∫∫ Σ Pdydz Qdzdx Rdxdy 。 证明：在 3 R 上, ≡ 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z R y Q x P 。 18．设L 是平面 x cosα + y cos β + z cos γ − p = 0 上的简单闭曲线，它所包围的区域 的 面积为 ，其中 D S (cosα, cos β, cosγ ) 是平面取定方向上的单位向量。证明 ∫ = L cos cos cos 2 1 x y z dx dy dz S α β γ ， 其中L 的定向与平面的定向符合右手定则。 习 题 14.4 1. 计算下列微分形式的外微分： （1）1-形式 xydx x dy ； 2 ω = 2 + （2）1-形式ω = cos ydx − sin xdy ； （3）2-形式ω = 6zdx ∧ dy − xydx ∧ dz 。 2. 设ω = + a x dx a x dx + +a x dx 1 1 1 2 2 2 n n n ( ) ( ) " ( ) 是 n R 上的 1-形式，求dω 。 3. 设ω = ∧ a x x dx dx + a x x dx ∧ dx + a x x dx ∧ dx 1 2 3 2 3 2 1 3 3 1 312 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) 是 3 R 上 的 2-形式，求dω 。 4. 设在 3 R 上在一个开区域 Ω = (,) a b × (c,d) × (e, f ) 上定义了具有连续导数的函 数 a1 (z)， a2 (x) ， a3 ( y)，试求形如 b ( y)dx b (z)dy b (x)dz ω = 1 + 2 + 3 的 1-形式ω ，使得 d = a (z)dy ∧ dz + a (x)dz ∧ dx + a ( y)dx ∧ dy ω 1 2 3 。 5．设 ∑ （ = = ∧ n i j ij i j a dx dx , 1 ω aij = −a ji ，i, j = 1,2,", n ）是 n R 上的 2-形式，证明 dω ∑= ∧ ∧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = n i j k i j k j ki i jk k ij dx dx dx x a x a x a 3 , , 1 1 。 7