定理2设函数fx)在点x的某一邻域U(xo)内具有各 阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足：lim R(x)=0. 证：0-立-r.e n->o -d-w f(x)=Sn+1(x)+R,(x) lim R(x)=lim[f(x)-S,n+1(x】=0,x∈U(xo） n->oo 1n-→0
定理2 阶导数, 则 f (x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x)的泰勒公式中的余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x = − = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 x x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 = − = + ( ) 0 x x 设函数f (x)在点x0 的某一邻域 内具有各
在式fx)+fox-)+"ox-0乃 21 ++f0(x-+. n! 中令x=0则有 fo+/0x+0r++0r+a) 21 n! (2)式称为函数f(x)的麦克劳林(Maclaurin)级数
f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 在式 中令 0 x = 0 则有 (2)式称为函数 f x( ) 的麦克劳林(Maclaurin)级数. f (0) + f x (0) + 2 (0) 2! f x ( ) (0) ! n n f x n + + + （2）