函数极限的性质 1局部有界性 如果fx)→>A(x>x0),那么x)在x的某一去心邻域内 有界 证明设imf(x)=A取E=1则3>0,使得vx∈U(x,)有 x→>x f(x)-A<1→(x)<4+1 即f(x)在U(x0;。内有界
如果f(x)→A(x→x0 ) 那么f(x)在x0的某一去心邻域内 有界 证明 设 lim ( ) ,取 1,则 0,使得 ( 0 ; )有 0 f x A x U x x x o = = → f (x) − A 1 f (x) A +1. ( ) ( ; ) . 即f x 在U x0 内有界 o 函数极限的性质 1.局部有界性
2唯一性 如果当x>x时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的 证明设,B都是Px→x时的极限, 则VE>0,3>0,当0<x-x0<0时有f(x)-A<E 日2>0,当0<x-x<0时有f(x)-B <8 取6=min(,62)则当0<x-x0)时(1)(2同时成立,故有 4-Bl=(f(x)-A)-(f(x)-B)≤((x)-A+(x)-B<28 由e的任意性得A=B即其极限唯
如果当x→x0时f(x)的极限存 那么这极限是唯一的 证明 设A,B都是f当x → x0时的极限， 0, 0, 0 ( ) , 1 0 1 则 当 x − x 时有 f x − A 0, 0 ( ) , 2 0 2 当 x− x 时有f x −B 取 = min( 1 , 2 ),则当0 x − x0 时(1),(2)同时成立，故有 A− B = ( f (x) − A) − ( f (x) − B) f (x) − A + f (x) − B 2 . 由的任意性得A = B.即其极限唯一. 2.唯一性
3局部保号性 如果f(x)>A(x>x0),而且A>0(或A<0),那么对任何正 数r<A(或r<A)在x0的某一去心邻域内,有fx)>>0(或 f(x)<-r<0) 证明设4>0.v∈(01取E=4-r,则8>0使得x∈U(x;0) 有f(x)>A-E=r 对于r<0的情形类似可证 推论 如果在x0的某一去心邻域内fx)≥0(或f(x)≤0),而且 f(x)→>A(x->x0),那么A≥0(或A≤0)
如果f(x)→A(x→x0 ) 而且A0(或A0) 那么对任何正 数r<A (或 r <-A),在x0的某一去心邻域内 有f(x) r>0 (或 f(x) -r < 0) 证明 0, (0,1), , 0, ( ; ) 0 设A r 取 = A−r 则 使得xU x 有 f ( x ) A − = r. 对于r 0的情形类似可证. •推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)→A(x→x0 ) 那么A0(或A0) 3.局部保号性
4保不等式性 如果x→x时f(x),g(x)极限都存在且在U(x0;0)有f(x)≤g(x) 则limf(x)≤limg(x) xXo 证明设limf(x)=A,limg(x)=B x->x0 x→>x0 则E>0,361>0,当0<x-x0<6时有A-6<f(x),(1) 日2>0,当0<x-x0<时有g(x)<B+E.(2) 令6=mn{6,6,2},则当0<x-x)时,不等式(x)≤g(x)与(1)(2) 同时成立,于是有 A-E<f(x)<g(x)<B+8, 从而A<B+2E,由e的任意性知A≤B
证明 lim ( ) lim ( ). ( ), ( ) ( ; ) ( ) ( ), 0 0 ' 0 0 f x g x x x f x g x U x f x g x x→x x→x → 则 如果 时 极限都存在且在 内有 o lim ( ) , lim ( ) , 0 0 f x A g x B x x x x = = 设 → → 0, 0, 0 ( ), (1) 则 1 当 x − x0 1时有A− f x 0, 0 ( ) . (2) 2 0 2 当 x − x 时有g x B + 同时成立 于是有 令 则当 时 不等式 与 ， min{ , , }, 0 x x , f (x) g(x) (1),(2) 1 2 0 ' = − A− f (x) g(x) B + , 从而A B + 2 ,由的任意性知A B. 4.保不等式性
5迫敛性 如果函数(x)、g(x)及h(x)满足下列条件: (1)g(x)≤f(x)≤h(x), Dlim g(x=A, lim h(x)=A 那么 lim f(x)存在,且 lim f(x)=A 证明按假设,V6>030>0、当0<kx-x0<时有A-E<g(x) 日C2>0,当0<x-x0<时有h(x)<A+E 令=min(1,2}则当<x-x0<6时上两不等式与g(x)≤f(x)≤M(x 同时成立故有 A-E<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+E 由此得(x)-A<E,即imf(x)=A X-x
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A 证明 0, 0, 0 ( ), 按假设， 1 当 x − x0 1时有A− g x 0, 0 ( ) . 2 0 2 当 x − x 时有h x A+ 同时成立故有 令 则当 时上两不等式与 , min{ , }, 0 ( ) ( ) ( ) 1 2 0 = x − x g x f x h x A− g(x) f (x) h(x) A+ , ( ) lim ( ) . 0 f x A ， f x A x x − = 由此得 即 → 5.迫敛性