(2)利用公式计算 D(X)=E(X2)-IE(X)2. 证明D(X)=E{X-E(X)} =E{X2-2XE(X)+[E(X)2} =E(X)-2E(X)E(X)+[E(X)I2 =E(X2)-[E(X)2 =E(X2)-E2(X)
( ) ( ) [ ( )] . 2 2 D X = E X − E X 证明 ( ) {[ ( )] } 2 D X = E X − E X { 2 ( ) [ ( )] } 2 2 = E X − XE X + E X 2 2 = E(X ) − 2E(X)E(X) + [E(X)] 2 2 = E(X ) − [E(X)] (2) 利用公式计算 ( ) ( ). 2 2 = E X − E X
5.方差的性质 (1)设C是常数，则有D(C)=0. 证明D(C)=E(C2)-[E(C)]2=C2-C2=0. (2)设X是一个随机变量，C是常数，则有 D(CX)=C'D(X). 证明 D(CX)=ECX-E(CX) =C2EX-E( =C'D(X)
证明 2 2 D(C) = E(C ) − [E(C)] 5. 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 D(C) = 0. 2 2 = C −C = 0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 ( ) ( ). 2 D CX = C D X 证明 D(CX ) {[ ( )] } 2 2 = C E X − E X ( ). 2 = C D X {[ ( )] } 2 = E CX − E CX
3)设X,Y相互独立，D),D()存在，则 D(X±Y)=D(X)+D(Y). 证明 D(X±Y)=E{[(X±Y)-EX±Y)I} =EX-E(X)】±[Y-E(Y)}2 =EIX-E(X)+E[Y-E(Y) ±2E{X-E(X)[Y-E(Y)M =D(X+D(Y):
D(X Y ) = D(X) + D(Y ). (3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 证明 ( ) {[( ) ( )] } 2 D X Y = E X Y − E X Y 2 = E{[X − E(X)] [Y − E(Y )]} 2 {[ ( )][ ( )]} [ ( )] [ ( )] 2 2 E X E X Y E Y E X E X E Y E Y − − = − + − = D(X) + D(Y )
推广若X1,X2,Xn相互独立，则有 D(X1±X2±.±X,n)=D(X)+D(X2)+.+D(Xn) (4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数 C,即 P{X=C}=1
推广 ( ) ( ) ( ) ( ). D X1 X2 Xn = D X1 + D X2 ++ D Xn 若 X1 ,X2 , ,Xn 相互独立,则有 即 的充要条件是 以概率 取常数 , (4) ( ) 0 1 C D X = X P{X = C} = 1
二、重要概率分布的方差 1.两点分布 已知随机变量X的分布律为 X p 1-p 则有 E(X)=1·p+0q=p, D(X)=E(X-E(X) =12.p+02.(1-p)-p2=p9
1. 两点分布 E(X) = 1 p + 0 q X p 1 0 p 1 − p 已知随机变量 X 的分布律为 则有 = p, 2 2 D(X) = E(X ) − [E(X)] 2 2 2 = 1 p + 0 (1 − p) − p = pq. p pq 二、重要概率分布的方差