山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第七章 参数的点估计

定义 7.1.2 设总体 X 的分布函数为F(x;0,,0,,,0），其中,0,,...,0,为待估参数，X,,X,...,X,是来自 X的样本假设总体的 k 阶原点矩μ=E(Xk)存在，(1）计算总体前k阶矩μ, = E(X')= μ,(01,02,.*-,0), 1 =1,2,--,k,(2）解方程0, = 0,(μu, μ2,.., μr), i = 1,2,..,k,(3）用样本矩替换总体矩0, = 0,(A,A,,..,A.), i = 1,2,.,k,称为参数,,,，,0,的矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值，统称为矩估计C008中个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 6

例 1设总体 X服从参数为的指数分布，未知，X,,X,,,X,是来自X的样本，试求0的矩估计量解 μ =E(X) =,解得 =μ， 于是 =A =X.例 2设总体X在[a,bl上服从均匀分布，a、b未知，X,X,,,X,是来自X的样本，试求a、b的矩估计量b+a解 μ, =E(X) =2(b+a)", =E(X") = D(X)+[E(X)° _(b-α)"+(124解得 a=μf -/3(μ, -μ), b=μi+ /3(μz -μ),P2(X,-X),于是 a=A, -3(A, -A) =X-,PZ(X,-X)b = A, + /3(A, - A ) = X+ni=l00108不不高等数学工作室不不

高等数学工作室 7 ( ) 1  E X   , ,   1 . ˆ  A1  X ( ) 1  E X ( ) 2 2  E X 2  D(X)  [E(X)] , 4 ( ) 12 ( ) 2 2 b a b  a    , 2 b  a  3( ), 2 a  1  2  1 3( ), 2 b  1  2  1 ˆ 3( ) 2 a  A1  A2  A1 ( ) , 3 1 2     n i Xi X n X 3( ) ˆ 2 b  A1  A2  A1 ( ) . 3 1 2     n i Xi X n X

例3设总体X的均值u及方差2都存在，且有2>0，但u与2未知．又设X,X,,.,X,是来自X的一个样本，试求u与α2的矩估计量解 μ =E(X) =μ,μ, = E(X")= D(X)+[E(X)}’ =α2 +μ2, 解得μ= μ, α? = μz - μ?于是p= Af - x, c°- A,-A,-"(X,-X).之x,作为说明不管总体X服从什么分布，均可用样本均值X=n-i总体均值的矩估计，用样本二阶中心矩B，=(X,-X)作为总体方差的矩估计.0008不不不高等数学工作堂不不个

高等数学工作室 8 ( ) 1  E X  , ( ) 2 2  E X 2  D(X)  [E(X)] , 2 2    

说明A =X.(1)u, = E(X),(2) 证 A, -A°-"Z(X,-X)ni=lA.-A-+2x--X-+2X-nX)1(2x?-2X.nX+n*) -1(2x?-2X.2x,+2x)li-1+2(X,-2X,+X)-+2(X,-X).0008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 9 ( ) . 1 1 2    n i Xi X  n    n i Xi XXi X n 1 2 2 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 2 1 2 X X nX nX n n i   i     ( ) 1 1 2 2    n i Xi nX n (1) ( ), 1  E X . A1  X 2 1 2 2 2 1 1 X X n A A n i    i   ( 2 ) 1 1 2 1 1 2           n i n i i n i Xi X X X n