银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第一章 函数与极限

银川能源学院《高签数学》救案 第一童函数、极限与连然 分析：对于任意给定的ε>0，要使 k-01g"-1-0gl"-<s, 只要n>log6+1就可以了，故可取N=[log1q+。 证明：因为对于任意给定的ε>0，存在N=[logs+1], 当心N时，有 1g-1-0=gl-I<s, 所以limq-l=0. 四、数列极限的性质： 1、唯一性 定理1（极限的唯一性）数列{xm}不能收敛于两个不同的极限. 证明：假设同时有imx,=a及limx,=b,且a<b. 1→0 按极限的定义，对于ε=，4>0，存在充分大的正整数N, 2 使当>N时，同时有 k-水&=2及水8=会， 因此同时有 x,<9及x,>b+0, 2 2 这是不可能的.所以只能有a=b. 数列的有界性：对于数列{xm},如果存在着正数M,使得对一切x都满 足不等式xsM,则称数列{xm}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数 列{xm}是无界的 2、有界性 定理2（收敛数列的有界性）如果数列{xm}收敛，那么数列{xm}一定有界 证明：设数列{xn}收敛，且收敛于a,根据数列极限的定义，对于ε=1，存 在正整数N,使对于n>W时的一切xm,不等式xm一a水e=1都成立.于是当n>N 时，有 n=(xn -a)+al s]xn-al+lal<1+lal. 取M-max{l,r2·,kw,I+a,那么数列{x}中的一切xn都满足不等式 xnls M. 这就证明了数列{xm}是有界的. 定理3（收敛数列的保号性）如果数列{xn}收敛于a,且心0（或a<0),那么 存在正整数N,当心N时，有xw>O(或xm<0), 证明：就a0的情形证明.由数列极限的定义，对e=0,VN,当心N 第11页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 11 页 分析 对于任意给定的 >0 要使 |x n0|| q n1 0||q| n1 <  只要 n>log|q| 1 就可以了 故可取 N[log|q|  1]。 证明 因为对于任意给定的 >0 存在 N[ log|q| 1] 当 nN 时 有 | q n1 0||q| n1 <  所以 lim 1 0  n n q  四、数列极限的性质 1、唯一性 定理 1(极限的唯一性) 数列{xn}不能收敛于两个不同的极限 证明 假设同时有 xn a n   lim 及 xn b n   lim  且 a<b 按极限的定义 对于 2 ba   >0 存在充分大的正整数 N 使当 n>N 时 同时有 |xna|< 2 ba   及|xnb|< 2 ba    因此同时有 2 b a xn   及 2 b a xn    这是不可能的 所以只能有 a=b 数列的有界性 对于数列xn}，如果存在着正数 M，使得对一切 xn 都满 足不等式 |xn|M则称数列{xn}是有界的 如果这样的正数 M 不存在，就说数 列{xn}是无界的 2、有界性 定理 2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 证明 设数列{xn}收敛 且收敛于 a 根据数列极限的定义 对于 1 存 在正整数N 使对于n>N 时的一切xn  不等式 |xna|< 1都成立 于是当n>N 时 有 |xn||(xn a)a| | xna||a|<1|a| 取Mmax{|x 1| |x 2|    |x N | 1| a |} 那么数列{xn}中的一切xn都满足不等式 |xn| M 这就证明了数列{xn}是有界的 定理 3（收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于 a, 且 a0(或 a0) 那么 存在正整数 N 当 nN 时 有 xn0(或 xn0) 证明：就a0的情形证明 由数列极限的定义 对 0 2   a  , NN  , 当nN

银川能源学院《高签激学》教宋 第一童函数、极限与连缕 时，有 k号， 从而 x>a330. 推论如果数列{xm}从某项起有xm≥0（或xm≤0），且数列{xm}收敛于a,那么 a20(或a≤0). 证明就xm≥0情形证明.设数列{xm}从N1项起，即当心N1时有xm≥0.现在 用反证法证明，或a<0,则由定理3知，N2eNt,当心N2时，有xn<0.取 N=max{N1,N2},当心N时，按假定有xm≥0，按定理3有xm<0,这引起矛盾. 所以必有a≥0. 子数列：在数列{xm}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先 后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xm}的子数列. 例如，数列{xn:1,-1,1,-1,,(-1)1.的一子数列为{x2m:-1,-1,-1, (-1)2+1. 3、子列 定理3（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{xm}收敛于α，那么它的 任一子数列也收敛，且极限也是a. 证明：设数列{x}是数列{xn}的任一子数列. 因为数列{xm}收敛于a,所以Hε>0，N∈Nt,当N时，有xm-dk. 取K=N,则当心K时，2k心K=V.于是|x-a水E. 这就证明了mxw=a. 讨论： 1.对于某一正数eo,如果存在正整数N,使得当心N时，有xw-a<eo.是 否有xm→a(n→0). 2.如果数列{xm}收敛，那么数列{xn}一定有界.发散的数列是否一定无 界？有界的数列是否收敛？ 3.数列的子数列如果发散，原数列是否发散？数列的两个子数列收敛， 但其极限不同，原数列的收敛性如何？发散的数列的子数列都发散吗？ 4.如何判断数列1，-1,1，-1，，-1)41，是发散的？ 第12页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 12 页 时 有 2 | | a xn a   从而 0 2 2     a a xn a  推论 如果数列{xn}从某项起有 xn0(或 xn0) 且数列{xn}收敛于 a 那么 a0(或 a0). 证明 就 xn0 情形证明 设数列{xn}从 N1项起 即当 nN1时有 xn0 现在 用反证法证明 或 a0 则由定理 3 知 N 2N  , 当 n N 2 时 有 xn0 取 Nmax{ N1 N2 } 当 nN 时 按假定有 x n 0 按定理 3 有 x n0 这引起矛盾 所以必有 a 0. 子数列 在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先 后次序 这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列 例如 数列{xn} 1 1 1 1    (1)n1   的一子数列为{x2n} 1 1 1    (1)2n1    3、子列 定理 3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于 a 那么它的 任一子数列也收敛 且极限也是 a  证明 设数列 { } nk x 是数列{xn}的任一子数列 因为数列{xn}收敛于 a 所以 >0 NN +  当 nN 时 有|xna|  取 KN 则当 kK 时 nkkKN 于是| nk x a|  这就证明了 x a k n k   lim  讨论 1 对于某一正数 0 如果存在正整数 N 使得当 nN 时 有|xna| 0 是 否有 xn a (n ) 2 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 发散的数列是否一定无 界? 有界的数列是否收敛? 3 数列的子数列如果发散 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？ 4．如何判断数列 1 1 1 1    (1)N1    是发散的？

银川能源学院《高签激学》救未 第一童函数、极限与连缕 第三节函数的极限 函数的自变量有几种不同的变化趋势： x无限接近x0:x→x0, x从0的左侧（即小于xo)无限接近x0:x→x0, x从xo的右侧（即大于xo)无限接近x0:x→xo, x的绝对值无限增大：x→o, x小于零且绝对值x无限增大：x→-o, x大于零且绝对值x无限增大：x→+oo. 一、x→o时函数的极限 设x)当x大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数 6,总存在着正数X,使得当x满足不等式pX时，对应的函数数值x)都满足 不等式 f(x)-As 则常数A叫做函数x)当x→o时的极限，记为 lim f(x)=A或x)-→A(x→o). T→0 1imfx)=A→E>0,3X0,当pX时，有/x)-4Ake. 类似地可定义 m)=A和mf)=4. 34 结论：mfx)=A一mf=4且m=A. 极限mfx)=A的定义的几何意义 1+6 =f(x) 例1. 用定 义 明 1 lim= -Y 0 X x-oX 分析：V4H:问E0,要使4张e,只要中 证明：因为yg>0,x20,当帅X时，有4H, 所以im1=0, o 第13页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 13 页 第三节 函数的极限 函数的自变量有几种不同的变化趋势 x 无限接近 x0  xx0 x 从 x0 的左侧(即小于 x0)无限接近 x0  xx0   x 从 x0 的右侧(即大于 x0)无限接近 x0  xx0   x 的绝对值|x|无限增大 x x 小于零且绝对值|x|无限增大 x x 大于零且绝对值|x|无限增大 x 一、x时函数的极限 设 f(x)当|x|大于某一正数时有定义 如果存在常数 A 对于任意给定的正数   总存在着正数 X 使得当 x 满足不等式|x|>X 时 对应的函数数值 f(x)都满足 不等式 |f(x)A|< 则常数 A 叫做函数 f(x)当 x时的极限 记为 f x A x   lim ( ) 或 f(x)A(x) f x A x   lim ( )  0 X0 当|x|X 时 有|f(x)A|  类似地可定义 f x A x   lim ( ) 和 f x A x   lim ( )  结论 f x A x   lim ( )  f x A x   lim ( ) 且 f x A x   lim ( )  极限 f x A x   lim ( ) 的定义的几何意义 例 1 用 定 义 证 明 0 1 lim  x x  分析 | | 1 0| 1 | ( ) | | x x f x A     0 要使|f(x)A|  只要  1 | x|  证明 因为 0  0 1    X  当|x|X 时 有      | | 1 0| 1 | ( ) | | x x f x A  所以 0 1 lim  x x  yf (x) A A X O X x y A