银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第一章 函数与极限

银川能源学院《高签激学》救朱 第一童函数、极限与连缕 (fog)/g(x)1. 与复合映射一样，g与f构成的复合函数fg的条件是：是函数g在D上的 值域g(D)必须含在∫的定义域Dr内，即gD)cDr否则，不能构成复合函数. 例如，=u)=arcsin u,的定义域为-l,1,u=g(x)=2W1-x2在 D=l-号u号)上有定义，且gD-1,山，则g与f可构成复合函数 y=arcsin2v1-x2,xED: 但函数y=arcsin u和函数=2+x2不能构成复合函数，这是因为对任xeR,e2+x2 均不在y=arcsin u的定义域[-l,1]内 3、函数的运算 设函数x,gx)的定义域依次为D1,D2,D=D1OD2O,则我们可以定义 这两个函数的下列运算 和（差）f±g:(f±gx)=fx)壮g(x),x∈D, 积fg: (fg)(x)fx)g(x),xED; 商:Xx=f因，xeD(-)0y g g(x) 例5.设函数x)的定义域为(-1，)，证明必存在(-1，)上的偶函数g(x)及奇函 数h(x),使得 x)=g(x)+hx)】 分析如果x)=gx)+hx),则-x=gx)-hx),于是 g(x)=jlf(x)+f(-x)],l(x)=j[f(x)-f(-x)] 证作8x)=之/)+f-训，x)=/x)-f-x训，则ix)-g(x)+h(, g 8-x)-=/-x+fx=gx. hi-x)=jlf(-x)-f(x)l--jlf(x)-f(-x)]--Mx). 五、初等函数 基本初等函数： 幂函数：=x“(ueR是常数)： 指数函数：y=a'(a心0且a≠1)方 对数函数：=logx(a0且a≠l,特别当a=e时，记为y=lnx; 三角函数：)=sinx,=cosx,y=tanx,=cotx,=secx,=Cscx; 反三角函数：)=arcsinx,=arccos x,J=arctan x,=arccot x 初等函数： 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤 所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如 第6页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 6 页 ( f  g )f[g(x)]. 与复合映射一样, g 与 f 构成的复合函数 f  g 的条件是: 是函数 g 在 D 上的 值域 g(D)必须含在 f 的定义域 D f 内, 即 g(D)D f . 否则, 不能构成复合函数. 例 如 , yf(u)arcsin u, 的定义域为 [1, 1], 2 ug(x)2 1x 在 ,1] 2 3 ] [ 2 3 D[1,   上有定义, 且 g(D)[1, 1], 则 g 与 f 可构成复合函数 2 yarcsin2 1x , xD; 但函数yarcsin u和函数u2x 2不能构成复合函数, 这是因为对任xR, u2x 2 均不在 yarcsin u 的定义域[1, 1]内. 3、函数的运算 设函数 f(x), g(x)的定义域依次为 D 1, D 2, DD 1D 2, 则我们可以定义 这两个函数的下列运算: 和(差)f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 商 g f : ( ) ( ) ( )( ) g x f x x g f  , xD\{x|g(x)0}. 例 5.设函数 f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l)上的偶函数 g(x)及奇函 数 h(x), 使得 f(x)g(x)h(x). 分析 如果 f(x)g(x)h(x), 则 f(x)g(x)h(x), 于是 [ ( ) ( )] 2 1 g(x) f x  f x , [ ( ) ( )] 2 1 h(x) f x  f x . 证 作 [ ( ) ( )] 2 1 g(x) f x  f x , [ ( ) ( )] 2 1 h(x) f x  f x , 则 f(x)g(x)h(x), 且 [ ( ) ( )] ( ) 2 1 g(x) f x  f x g x , [ ( ) ( )] ( ) 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 h(x) f x  f x  f x  f x h x . 五、 初等函数 基本初等函数: 幂函数: yx  (R 是常数); 指数函数: ya x (a0 且 a1); 对数函数: yloga x (a0 且 a1, 特别当 ae 时, 记为 yln x); 三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . 初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤 所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如

银川能源学院《高签激学》救案 第一童函数、极限与连缕 y,sin.cot 等都是初等函数 双曲函数： 双曲正弦：shr=e-e 双曲余弦：chr=e+ 2 双曲正切：thx=shr_e-e chx exte-x =chx y=thx 双曲函数的性质： sh(x+y)=sh x-ch ytch x-sh y; ch(xty)=ch xch y+sh xsh y. ch"x-sh"x-l; sh2x=2sh x.ch x; ch2x=ch2x+shx 下面证明sh(x+y)=sh x.chy+ch x-sh y: shrchy+chsh=e-eeteee 22 22 eygtee-laney tee 4 =exty-e -=sh(x+y) 2 反双曲函数 双曲函数=shx,y=chx20),y=hx的反函数依次为 反双曲正弦：y=arshx; 反双曲余弦：=archx; 反双曲正切：=arth x. 反双曲函数的表示达式： =arshx是x=shy的反函数，因此，从 x=er-e-y 2 中解出y来便是arshx.令=e',则由上式有u2-2r-1=0. 这是关于的一个二次方程，它的根为 u=x±Vx2+1 第7页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 7 页 2 y 1x , ysin2 x, 2 cot x y 等都是初等函数. 双曲函数: 双曲正弦: 2 sh x x e e x    ; 双曲余弦: 2 ch x x e e x    ; 双曲正切: x x x x e e e e x x x       ch sh th . 双曲函数的性质: sh(xy)sh xch ych xsh y; ch(xy)ch xch ysh xsh y. ch2 xsh2 x1; sh2x2sh xch x; ch2xch2 xsh2 x . 下面证明 sh(xy)sh xch ych xsh y: 2 2 2 2 sh c h c h sh x x y y x x y y e e e e e e e e x y x y              4 4 x y y x x y (x y) x y y x x y (x y) e e e e e e e e                   sh( ) 2 ( ) x y e e x y x y        . 反双曲函数: 双曲函数 ysh x, ych x(x0), yth x 的反函数依次为 反双曲正弦: yarsh x; 反双曲余弦: yarch x; 反双曲正切: yarth x . 反双曲函数的表示达式: yarsh x 是 xsh y 的反函数, 因此, 从 2 y y e e x    中解出 y 来便是 arsh x . 令 ue y , 则由上式有 u 2 2x u10. 这是关于 u 的一个二次方程, 它的根为 1 2 ux x  . y=ch x y=sh x 1 x y O y= e 1 -x 2 y= e 1 x 2 1 -1 O x y y=th x

银川能源学院《高签激学》救案 第一童函数、极限与连缕 因为=e~0,故上式根号前应取正号，于是 u=x+Vx2+i】 由于y=ln,故得 y=arshx=ln(x+Vx2+1) 函数=arsh x的定义域为(-o,+o),它是奇函数，在区间(-o,+o)内为单调 增加的 类似地可得 1,1+x y=archr=In(x+-1),y=arth= 第8页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 8 页 因为 ue y 0, 故上式根号前应取正号, 于是 1 2 ux x  . 由于 yln u, 故得 arsh ln( 1) 2 y x x x  . 函数 yarsh x 的定义域为(, ), 它是奇函数, 在区间(, )内为单调 增加的. 类似地可得 arch ln( 1) 2 y x x x  , x x y x     1 1 ln 2 1 arth

银川能源学院《高签激学》救未 第一童函数、极限与连缕 第二节数列的极限 一、数列极限的例子 如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆，首先作内接正四边形，它的面积记为A1:再作内接正八边形， 它的面积记为A2;再作内接正十六边形，它的面积记为A3;如此下去，每次边 数加倍，一般把内接正8×2”-1边形的面积记为Am.这样就得到一系列内接正 多边形的面积： A1,A2,A3,··,Am, 设想n无限增大（记为n→o,读作n趋于穷大），即内接正多边形的边数无 限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A,也无限接近于 某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积.这个确定的数值在数学 上称为上面有次序的数（数列）A,A2,A,…,Am,当n→o时的极限. 二、数列与整标函数 数列的概念：如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n有一个确定 的数xm,则得到一列有次序的数 X1,X2,X3,···,xn,·· 这一列有次序的数就叫做数列，记为{x},其中第n项xm叫做数列的一般项. 数列的例子： （1)A2,A3,,An’ a1安5日， 1 n (3)2,4,8,…,2”, (5)1,-1,1,…,(-1"+,; (6)2克，…， n+(-I)- n 它们的一般项依次为4，，2京，1++ n 数列的几何意义：数列{xm}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上 的点x1,2,x3,·,Xn, 数列与函数：数列{xm}可以看作自变量为正整数n的函数： xf(n), 它的定义域是全体正整数 三、数列的极限： 数列的极限的通俗定义：对于数列{xm},如果当n无限增大时，数列的 般项xn无限地接近于某一确定的数值a,则称常数a是数列{xm}的极限，或称 第9页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 9 页 第二节 数列的极限 一、数列极限的例子 如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆 首先作内接正四边形 它的面积记为 A1；再作内接正八边形 它的面积记为 A2；再作内接正十六边形 它的面积记为 A3；如此下去 每次边 数加倍 一般把内接正 8×2 n  1 边形的面积记为 An  这样就得到一系列内接正 多边形的面积 A1 A2 A3        An    设想 n 无限增大（记为 n 读作 n 趋于穷大） 即内接正多边形的边数无 限增加 在这个过程中 内接正多边形无限接近于圆 同时 An 也无限接近于 某一确定的数值 这个确定的数值就理解为圆的面积 这个确定的数值在数学 上称为上面有次序的数（数列） A1 A2 A3     An   当 n 时的极限 二、数列与整标函数 数列的概念如果按照某一法则 使得对任何一个正整数 n 有一个确定 的数 xn  则得到一列有次序的数 x1 x2 x3     xn     这一列有次序的数就叫做数列 记为{xn} 其中第 n 项 xn 叫做数列的一般项 数列的例子 （1） A2 , A3 ,   , An，   （2）1, 2 1  3 1  n 1      n 1    （3）2 4 8     2 n     （4） 2 1  4 1  8 1      2n 1      （5）1 1 1     (1)n  1      （6）2 2 1  3 4      n n n 1 ( 1)         它们的一般项依次为 An， n 1  2 n  2n 1  (1)n  1  n n n 1 ( 1)     数列的几何意义 数列{xn}可以看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上 的点 x1 x2 x3     xn     数列与函数 数列{xn}可以看作自变量为正整数 n 的函数 xnf (n) 它的定义域是全体正整数 三、数列的极限 数列的极限的通俗定义：对于数列{xn} 如果当 n 无限增大时 数列的一 般项 xn 无限地接近于某一确定的数值 a 则称常数 a 是数列{xn}的极限 或称

银川能源学院《高签激学》救集 第一童函数、极限与连线 数列{xn收敛a.记为mxn=a.如果数列没有极限，就说数列是发散的. 例如 m希=，名=0，m+ n-→on 而{2，{(-1+}，是发散的. 对无限接近的刻划： xn无限接近于a等价于xm一a无限接近于O, 极限的精确定义： 定义如果数列{xm}与常a有下列关系：对于任意给定的正数ε（不论它多 么小)，总存在正整数N,使得对于n>N时的一切xm,不等式 kxn-a<s 都成立，则称常数a是数列{xm}的极限，或者称数列{xn}收敛于a,记为 limx=a或xm→a(n-→oo) 11-00 如果数列没有极限，就说数列是发散的。 例1，证明mn+y=. n→on 分桥：k一4护 n 对于Hc>0,要使km-1k<6,只要<e,即n>1 证明：因为Ye>0,3N=[∈N,当>N时，有 k,-非-y-非1<8， n n 所以m+y=l. n 例2证明一=0， 分标：k川动 对于V6>0,要使k-0水8，只要<，即n心l 证明：因为Ve>0,3N=-∈N,当>N时，有 k-0a, 1 (n+1)2 所以中=0 例3.设gK1,证明等比数列 1,9,g,…,g1,… 的极限是0. 第10页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 10 页 数列{xn}收敛 a  记为 xn a n   lim  如果数列没有极限 就说数列是发散的 例如 1 1 lim   n n n  0 2 1 lim   n n  1 ( 1) lim 1      n n n n  而{2 n } { (1)n  1 } 是发散的 对无限接近的刻划 xn 无限接近于 a 等价于|xna |无限接近于 0 极限的精确定义 定义 如果数列{xn}与常 a 有下列关系对于任意给定的正数 不论它多 么小 总存在正整数 N  使得对于 n >N 时的一切 xn 不等式 |xna |< 都成立 则称常数 a 是数列{xn}的极限 或者称数列{xn}收敛于 a  记为 xn a n   lim 或 xna (n) 如果数列没有极限 就说数列是发散的 例 1 证明 1 ( 1) lim 1      n n n n  分析 |xn1| n n n n 1 1| ( 1) | 1      . 对于 >0 要使|xn1|  只要  n 1  即  1 n  证明 因为 0,  ] 1 [  N  N   当 nN 时 有 |xn1|       n n n n 1 1| ( 1) | 1  所以 1 ( 1) lim 1      n n n n  例 2 证明 0 ( 1) ( 1) lim 2     n n n  分析 |xn0| 0| ( 1) ( 1) | 2     n n 1 1 ( 1) 1 2     n n  对于 0 要使|xn0|  只要  1 1 n  即 1 1    n  证明 因为 0  1] 1 [   N N   当 nN 时 有 |xn0|         1 1 ( 1) 1 0| ( 1) ( 1) | n 2 n 2 n n  所以 0 ( 1) ( 1) lim 2     n n n  例 3 设|q |<1 证明等比数列 1 q  q 2      q n1     的极限是 0