《高等数学》下用教案第九章多元函数微分法及其应用 第九章多元函数微分学及其应用 §1多元函数的基本概念 一、二元函数的概念 1区域（平面区域） (1)邻域圆形邻城：U(P,6)={(x,y)(x-)2+(y-)子<6}： 矩形邻域：{x,x-xKay-,Kb: (2)区城： 内点 开集 开区域 边界点 闭集 闭区城 连通性 (3)有界区域对于平面区域D,存在一个以R为半径的圆完全包含了区城D,则称 平面区域D为有界区域。 2.二元函数的定义 定义设有变量x,y,2,平面点集D；当(xy)D时，按照一定的法则∫，总有唯一确定 的2值与之对应，称z为变量x,y的函数，即二元函数，记作：z=f(x,),(x,)eD；称x,y 为函数的自变量，z为函数的因变量，D为函数的定义域，而{z;z=f(x,y),(x,)∈D;为函数 的值域。 如函数z= 同，定又孩为D=红x+>)一无界的开区线：=后-F的 1 定义城刚为D=班+y≤一有环的网区瑞：函纸：一厅--可的突义故 则为D={(x,yx2+y2≤a2,y>x2}。 共37页一第1页 基衣安
《高等数学》下用教案 第九章多元函数微分法及其应用 注：①二元函数的定义城是平面上的区城，而二元函数的图像是空间的曲面。如二元函 数z=V口-x-y的图像是上半球面，定义城的是平而区城D:x2+y2≤a2; ②同理可知，三元函数“=f(x,,)的定义城是空间的区域，如函数： =√R2-x2-y2-2的定义城：={x,y,2x2+y2+z2≤R},Ω是空间的球体：一般自变 量为两个支两个以上的函数统称为多元函数。 二、多元函数的极限 定义设二元函数z=化，)在点B(化，)的某邻城内有定义（B可以除外)，A是一确 定的常数。若YE>0,36>0,当邻域内的任意一点P(x,y)满足不等式 0PP=V(x-x)+(0y-y)<8时，均有|fx,y)-AKe,称A为函数z=fx,y)当 (x,y)→(K,)时的二重极限，简称为函数的极限，记作imfx,)=A。 注①根据定义，极限存在与否与函数fx,y)在(x,)的状态无关，只与fx,y)在 B(%)的周固邻域内的状态有关： ②定义中极限存在，是指Px,)以任何方式趋于P心化，)时，函数都无限的接近于A: 即极限值与P→B的方式无关，即极限与路径无关； ③但是如果P(，)以不同的方式趋于P(x,)时，函数趋于不同的值可以断定函数的极 限一定不存在，即如果极限值与路径有关，函数的极限不存在。 ④二元函数极限的四则运算法则、夹逼准则等均与一元函数类似，可以借助于一元函数 求极限的方法求一些简单的二元函数的极限。 1数保归器 器别 例2东斑限之o: 共37页一第2页 惠衣安
《高等数学》下用教案 第九章多元函数微分法及其应用 期o=量-21-2 0 y 例3求极限+m+列- x+2 解+sim6x+)-1~sim(x+yx+y,x+y→0： 巴，僧器- (x+y)2 (x+y)2 到4说用香东心月-于。6化→®时特领限不存在 0 解fx,)的定义域是整个x0y平面，只要说明(x,)→(0,0)的极限与路径有关即可。 让(x,y)沿过(0,0)点的直线y=kx(k≠0)趋向于(0,0)： r.kr k 功平惯+安+，与有关 表明极限值与路径有关，从而1imf(x,)不存在。 J+0 注当x,)沿x轴趋于0,0)时，mfx,0)=im0=0:当（红，）沿y轴趋于0,0)时， mf0,)=m0=0:表明特殊路径的极限存在并不能推出二重极限的存在。 x'y 例5证明极限册罗十-疗不存在， 证明首先考虑经过(0,0)的任一直线y=:（y轴除外)，此时 x2(a mxr+r-可四r产+-=ix+0-=0(kI) 如果k=1,则考虑(x,y)沿y=x趋于(0,0)，此时 男7务1 表明极限与k的取值即与路经有关，从而极限不存在。 注二重极限mf心x)不能写作m{im了(x)小或m{mfx,)小，后两者称为累 共37页一第3页 惠永安
《高等数学》下用教案 第九章多元函数微分法及其应用 次极限（二次极限）。 四列-”}-}-0 停明-慢-回-0 但是二重板限mx)并不存在。 注此例表明二次极限与二重极限是两个完全不同的概念，二者没有必然的联系，但是 如果二次极限与二重极限都存在，可以证明极限值一定相等。 （y 例6函数fx,y)={Vx2+y2 x2+y2≠0 ) 0 o特，时0 由夫遥凉，男功=织十0 三。二元函数的连续性 1连续的定义 定义设z=f,川在包含点B(G,)的某郁城内有定义，若极限mfx,)存在且 imf(x,y)=fx,,),则称函数z=fx)在点P(x,)连续，否则称点B(x,,)为函数的 间断点。 注①若z=∫化，)在定义城D内点点连续，则称z=fx,)在D内连续： ②连续的二元函数的图像是无缝隙、无孔的空间曲面： 国二元函数的同断“点”可能是张立的点，也可能是向线，如函数：。一一了，同断 1 点为{x,y)x2+y2=a2} 2.多元初等函数的性质 (1)所有多元初等函数在其定义区城内都是连续的： (2)有界闭区域上的多元连续函数有最大值和最小值定理、介值定理等等。 共37页一第4页 惠衣安
《高等数学》下用教案 第九章多元函数微分法及其应用 练习一求下列二元函数的极限 6+w:a=2:8=j 82y2 0兴 解0回l+g子，：=0+学，a:=0+. 回为ag要+mg2o-0 @白不r4+24+分 x2y2+4-4 y2 e:0器-0品份=o 所以白夫远-0 w号号 「y 习诗论高载K,0在@.0点是连续 0 x2+y2=0 解f(0,0)=0,0< 2r,可o 由夫运准则学》产0=Q0:所以在@0点连埃， 共37页-一第5页 惠衣安