第十章重积分 本章和下一章是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们学习了不定积分和定积 分，同时我们也知道定积分是某种形式的和的极限，这种和的极限推广到定义在区域、曲线 和曲面上就是重积分、曲钱积分和曲面积分的概念。本章我们将介绍重积分（二重积分、三 重积分)的概念、计算方法以及他们的一些应用。 $1、二重积分的概念 一、二重积分的概念 1、引例与定义 (1)曲顶柱体的体积 设函数z=fx,),当（化y)∈D时，f(x,)20,且fx,)在D上连续。由曲面z=f(x,y)、 xy平而的区城D、母线平行于z轴的柱面所围成的空间区域称为曲顶柱体，或称为以曲面 z=x,)为顶，以平面区城D为底，母线平行于2轴的曲顶柱体。 2=f(x,y) 已知：平顶柱体的体积=底面积×高 3,-f59,) ①分割：用平面曲线网将区城D分割为 A0,A02,·,A0,,A0。 相应地将曲顶柱体分割为n个小的曲顶柱体： AK,AV,...Av,...Av 其中△y表示第i个小曲顶柱体、也表示该柱体的体积，则：V=∑A: ②速V的近似值：(，n,)∈△g,△V≈f5,n,)△g(i=L,2,,n):故 V-2a业*2f5nAa (5,7) ③垡业的指确值：记=max所有△a,的直径倒，则，V=im∑f(乐，n)△a,: (2)平面薄板的质量问题 设平面薄板占有xOy平面上的区城D,密度函数为p=p(x,y),当(x,)eD时，p(x,)>0 且在D上连续。 同理可得，质量计其公式：m=m∑p(,n)△a,:
《高等数学》下册教案 第十章重积分 定义1、设函数∫(x,y)是有界闭域D上的有界函数。将D任意分割成n个小的区域：△口、 △、、△,（(△G,既表示第i个小区域也表示小区域的面积)：任取（⑤，）∈△, i=l,2,作和：之fG,na,:记=mmx△a,的直，若极限m之f八5，nAa,存在， 称极限值为函数f(x,)在区城D上的二重积分，记作：Iim∑f5,n,)△o,=川nfx,y)do 其中f(x,)—被积函数，D—积分区域，do—面积微元， xy—积分变量，f，)da—被积表达式，f八5，n)a,一积分和。 注：①do相应于积分和中的△a,故do>0: ②如果已知二重积分儿nx,)do存在，特别： (1)用直角坐标系中的直线网即平行于坐标的直线网分割区城D,除去边沿部分外，有 Ao,=AxAy,则 ∬。fxo=m2fG,n)Aa -im()Ao,+lim()Ao 4g=44y =lm∑f5,n)Ax4y=∬nfx,dhd 即：川nx,y)do=川nfx,y)kd一在直角坐标系下的二重积分 2)用极坐标系中的曲线网即以坐标原点为中心的圆孤、从坐标原点发出的半射线分割区城 D,除去边沿部分外，有△a,=r△△日，则利用直角坐标与极坐标的关系5=rcOs日， 7,=5sin日，此时 (ξ) (x.yda-lim()Ao △o≈rW△8 =m∑f5,n)Ao,+mΣfGn,)Aa, =lim∑f(cos6,rsin8)rAyA6=j∬nf(cos0,rsin0)rdd0一极坐标系下的二重积分 2、二重积分的几何意义 共29页一第1页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 1)当fk,)之0川。fx,dG的几何意义表示以区城D为底，以曲面2=fx,)为顶，母线 平行于：轴的曲顶柱体体积（位于x0y上方）： 2若化，川≡l,八nfx,da=川ndG积分值等于区城D的面积。 注：①fx,y)≤0时，nfx,y)do的几何意义表示以区拔D为底，以曲面z=fx,)为顶 母线平行于：轴的曲顶柱体的体积： ②若积分区域D关于x轴对称，D,是位于x轴上侧的一半区域 。fk.wo=2 f(,yda f(s.y=)f,- 0 f(x,)=-f(x,-y) ③设积分区域D关于y轴对称，D,是位于y轴右侧的一半区域，则 fr.yda-2 a f- 0 f(x,y)=-f(-x,y) 例1、根据二重积分的几何意义，指出下列积分值，其中D:x2+y2≤R2, D,:x+ys1,x≥0，y≥0：∬R2-x-yda,∬da,j∬0-x-to。 解：∬o=D的面积=xR:八R-r-少do=上丰球体体积=子xR 0--o=四面体的体积-名 例2、指出下列积分值，川(2-2+y)d6,其中D:x2+y2≤4。 解：被积函数2=2-√+少≥0，（化，）∈D,根据二重积分的几何意义，积分值等于以曲面 z=2-√2+y2为顶，以D:x2+y2≤4为底的曲顶柱体的体，即等于底半径为2，高为2 2-F+aa2y2- 例3、指出下列积分值，其中其中D:x+y10 ∬。xF+rda f∬n3-x2 sin xy)do 解：川nxVF+ydo=0 共29页一第2页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 川n6-sin xyda=3go-j。sin xyda=3-0023=60 二、二重积分的性质 可以证明，连续的函数一定可积，以下总假设二重积分存在。 性质1、川nfx,y)do=nf(x,y)do,k为非零常数： 性质2、∬n/x,)gxdg=川。fx,do±川。gxda: 性质3、若D=D,+D,且D∩D,=(除边沿部分外)，则 ∬nfx,dg=。fcdg+∬nfx,do 性质4（保序性）、若fx川≥gx,川，(x,)∈D,剥：川。fx)do≥川。g(xo: 表明，当积分区域相同时，被积函数越大，则积分值越大，可以依据此性质比较两个积分值 的大小。 特例：(1)若fx)20,(x,)∈D,则∬nfx,y)do≥0： 21∬(das∬lfx,川da 其中2)几何意义在于：左端—体积的代数和，右端—体积。 性质5、（估值定理）若m≤fx,)≤M,(c,)∈D,则 mc≤∬nf,y)do≤Ma （g是D的面积) 注：利用此性质可以估计积分值的范围。 性质6、（中值定理）若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则存在（⑤，）∈D,使得： ∬nfx,y)do=f(5,n)o(o是D的面积） 证明：因为f(x,)在有界闭区域D上连续，则在D上可以取得最大、最小值M与m,即 m≤fx,)≤M,(xy)∈D;根据性质4， 八。mda≤j。fx,dos∬。Mia 即mo≤川nf心，o≤Mo,浅m≤号川。fdo≤M,由闭区城上连续画数的性质，存在 (传，eD,使得f5,0=号。fxdo,即：广。fx,da=f5,0a 例4、比较积分∬。(x+dg与川。x+do的大小，D由(x-2)+0-)=2围成的圆城。 共29页一第3页 果水安
《高等数学》下册教案 第十章重积分 解：当(x,)eD时，总有x+y之1，故x+y≤(x+y,∬x+do≤川x+ydc。 例5、试估计二重积分值川x+y+1)do,其中D是矩形区城：0≤x≤1,0≤y≤2。 解：fx,)=x+y+1,则当（化，y)∈D时，m=0+0+1=1,M=2+1+1=4,故：1≤fxy)≤4： 且0=2×1=2，则 2≤mo≤，(x+y+I)do≤Ma=8 (例4图) (例5图) §2、二重积分的计算 一、在直角坐标系下计算二重积分 1、平面上的简单区域及其不等式表示：X型与Y型 =0 X型： Y型： a≤x≤b 「c≤y≤d D:sy D,:{,0sx5w.0 例1、将下列平面区城用不等式表示 g- 解：1D,D,:Cyd a≤xsb 共29页一第4页 果水安