《高等数学》上册教案 第六章定积分的应用 第六章定积分的应用 1、主要内容 定积分应用包含在几何中应用及在物理中应用。在几何中应用主要在于利用定积分计算 平面图形的面积：计算平面曲线的孤长：计算已知戴面面积函数的立体体积，旋转体体积与 侧面积：在物理中应用主要在于利用微元分析法处理在物理中的有关计算问题（包括不均匀 物体的质量、液体静压力、引力及变力作功等的计算问题) 涉及的计算公式： 1、几何中应用中涉及的公式 )平面图形面积：M=∫的f川本，M=打rd0 2)平面曲线孤长：1=∫V1+f(x),1=∫F2+严d0 3)截面面积函数已知的立体体积：=∫A(x)d 4)旋转曲面体积：V=∫πf(x)d 5)旋转曲面侧面积：S=2π∫fxW1+”()k 2、物理应用中涉及的公式（假设质量分布函数为常数，物体所受力为常力） 1)质量：M=P,S或M=PpV,这里P,和P,分别为物体的面密度和体密度 2)恒力所作的功：WfS1cos(f,5 3》两质点吸引力：F=Gmm 2 4)液体压强：P=Ph这里p是液体的比重，h为液体深度 川、教学要求 1.掌握定积分在几何中的应用，会用定积分计算平而图形的面积、平而曲线的孤长、旋转 体体积与侧面积。 2.会用微元法处理一些简单的物理问题。 第1页一共12项 来永安
《高等数学》上册教案 第六章定积分的应用 第一节定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积 设y=fx)≥0(x∈(ab)),如果说积分A=心fx)是以[a,b为底的曲边梯形的面积， 则积分上限函数A(x)=∫f)dh,就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积，而微分dA()=fx)k 表示点x处以为宽的小曲边梯形面积的近似值d4()=fx)冰称为曲边梯形的面积元素。 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A:就是以面积元素∫(x)为被积表达式，以[a,b]为积 分区间的定积分A=∫f(x) 一般情况下：为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上分布在[a,x上的量用 函数U(x)表示，再求这一所求量的元素为dU(),设dU(x)=U(x),然后以U(x)d为被积 表达式，以[a,b]为积分区间求定积分即得U=∫fx)d。 用这一方法求一量的值的方法称为微元法（或元素法） 第二节定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1.直角坐标系下平面图形的面积 (1)X一型与Y一型平面图形的面积 把由直线x=a,x=b(a<b)及两条连续曲线y=fx),y=(x),(f()≤5(x)所围成的 平面图形称为X一型图形：把由直线y=C,y=d(C<d)及两条连续曲线x=gy),x=g,y) (gy)≤gOy)所国成的平面图形称为Y一型图形 d 第2页一共12页 来永安
《高等数学》上册救案 第六章定积分的应用 注意构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点.把X一型图形称为X一型双曲边梯 形，把Y一型图形称为Y一型双曲边梯形. 1)用微元法分析X一型平面图形的面积 取横坐标x为积分变量，x∈[a,b]。在区间[a,b上任取一微段[x,x+],该微段上的图 形的面积dA可以用高为(x)-x)、底为的矩形的面积近似代替.因此 dA=[(x)-(x)]dx, 从而 A=∫[fx)-f (1) 2)微元法分析Y一型图形的面积 A=∫[g,0y)-g0yw (2) 对于非X一型、非Y一型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若千个X一型图 形和Y一型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积， 例1求由两条抛物线y=x,y=x所围成图形的面积A 解 解方程组少=元得交点0,0，. ly =x 将该平面图形视为X一型图形，确定积分变量为x,积分 区间为[0,1刂 由公式(1)，所求图形的面积为 本A可-- 3 例2求由曲线y2=2x与直线y=-2x+2所围成图形的面积A 2x+2得交点.22 解解方程组产2 积分变量选择y,积分区间为[-2， 所求图形的面积为4=∫0-》=心-寻名1。= 1所国成的形的而 例3求精圆子+2 解设整个精圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍，椭圆在第一象限部分在x轴上的投 第3页一共12页 来永安
《高等数学》上册教案 第六章定积分的应用 影区间为[0，a],国为面积元素为k,所以S=4。d, 椭圆的参数方程为：x=acos1,y=bsint 于是 yd=bsintd(acost) =-4ab sin'tdt =2ab (1-cos 2t)dt =2ab.=abr 2.极坐标情形 曲边扇形及曲边扇形的面积元素 由曲线p=p()及射线日=心，日=B围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为 ds=o0)do 曲边扇形的面积为 s-S"HoOdo 例4.计算阿基米德螺线p=a0(a>0)上相应于0从0变到2π的一段孤与极轴所围成的 图形的面积 解：S=B-rr-=arx 例5.计算心形线p=a1+cos)(a>0)所围成的图形的面积 解：5=2∫2[a1+cosd0=d。(号+2cos0+2c0s20d0 =a2号9+2sin8+sin286=号a2x 二、体积 1.旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴 常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体 旋转体都可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体 第4页一共12页 来永安
《高等数学》上册教案第六章定积分的应用 设过区间[a,b]内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x),当平面左右平移 d后，体积的增量近似为△V≈π[f(x)]k,于是体积元素为dW=(x)k 旋转体的体积为 V=∫fx 例1连接坐标原点0及点Ph,r)的直线、直线x=h及x轴固成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算这圆锥体的体积 解：直角三角形斜边的直线方程为y=方x 所求圆锥体的体积为 r=∫。听x=6=号r 例2计算由精圆导+示1所成的圈形绕x轴硫特而成的戏特体（陵转精球保）的保积 解：这个旅转椭球体也可以看作是由半个椭圆 y=802-2 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体，体积元素为d=πy本 于是所求旋转椭球体的体积为 r=∫rg(a2-rw=reax-r-号mb 的并华老医类仁二的一共，直线y-0所国及的国形今别选：林了装特 而成的旋转体的体积 解：所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 g=∫yt=j。a-cos2al-cos)h =πa∫0-3cost+3cos2t-cos3t)d=5πa 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差，设曲线左半边为x=x)、 右半边为x=x0),则 y=∫。0d-∫。xxod 第5页一共12页 来永安