《高等数学》下册教案第十二章无穷级数 第十二章无穷级数 §1、常数项级数的概念与性质 一、定义 定义1、设有数列似，，称山+山++，+…=立，为常数项级数，或称为数项级数、数值 级数，，是级数的第n项也称为一般项或通项。 利用已有的级数，构造一个新的数列“部分和数列[Sn},其中S=山，S2=山+山2， S,=4++4,,S。=4+山2+…+4，。；Sn也称为级数∑4.的前n项和，且有 Sn-S1=4。。 定义2、设(S,}是级数∑4。的部分和数列，若极限imS,存在，设其为S即 1imSn=lim(4+4,+…+,)=S 称级数∑，收敛，称极限值S为级数立，的和，也称级数立，妆敛于S:记作 立4，=S:知果mS不存在，称级数∑，发教。 注：①记=三，希：为级载的余项： ②当领数收级时，国为∑4.=5，记：=立4=∑4.-立4=S-5,由此不难得出：级数 ∑4，收铁台im=0: ③级数收敛时，若用部分和作近似计算级数的和，即S≈S,则可用余项估计计算的误差： ④由极限存在的唯一性，收敛级数的和S是唯一的。 11 1 1 因为回8-回0-白-1所以级数数数且和为1，脚纸数批发于1，表立口1。 第1页一共32页 基永安
《高等数学》下册教案 第十二章无穷级数 例2、用定义讨论级数了g的敛散性。 :成=1g…9哥 （g≠1)，则 名位 (19≠1) 9=1时级数为：1+1+1++l+,imS。=imn=0,此时级数发散： 9=-1时级数为：1-1+1-…+(-)-+…，则 S=0→0，S=1→l,故mS不存在，此时级数也发散。 上者：名-点 例3、刘院级数好会+++2… 2” 2“ 8=88是号层拉+） m8=@-r= 例4、运明调和纸数是发教级载。 运：（反运法）假谈纸数是投线的，事分和为5，则m5=5:从而回=5，即应 有：lim(Sn-S,)=S-S=0:但 -成>六品0 与假设级数收数矛盾，证得调和级数发教。 n 二、性质 级数收敛或发散是由其部分和数列的极限确定的，因此利用极限运算的有关性质，可以 第2页一共32页 季永安
《高等数学》下册教案第十二章无穷级数 推出级数的运算性质。 设：为非家常数，则，与2)网时收效，同时发款：特别在级数状数时，如果 2=5,则2@，)-5： 证：对级数∑4。，部分和为：S,=山+山++，级数上(，)的部分和为： 了，=k+仙，++仙，=+出，+…+u,),所以工=S,故板限im工，与极限imS,同时存在， 或同时不存在，表明级数∑“，与∑(，)同时收敛，同时发散：特别在极限存在时，mS,=S, 则1imT,=kS。 记如长空发显铁古房空号2分铝2， 口法2=5，立=7，则，士)-2，少=5士7收，即收效领数的逢项和的成 的新级数仍然收敛： 的5、判版数空2少的发夜性 3 少，9非写1：故为为收数的线数。 0,数空产上国空等号2，及 13” 3 注：①逆否命题：如果逐项和的新级数发散，原级数中至少有一个发散： ②问题：如果两级数逐项和的新级数收敛，是否两个级数一定都收敛？发散级数的逐项和构 成的新领数是百一交发款？数款空行为发旅，但远项气数为就且旅线到0： 倒6、已知级数∑4，收敛，∑发教，证明级数∑似，+)发教。 证：（反证法）记=以+，假设级数∑=仙，+，)收敛，由于级数，收敛，由性 第3页一共32页 基永安
《高等数学》下册教案 第十二章无穷级数 质，级数空心)收数。即习，收丝，矛后：从而结论得证 (3)在级数中增加或减少有限项不改变级数的敛散性；但在收敛时，级数的和数不同的： 中空站是发数，空6色发数的：空约热，“三付色发 (4)在收敛级数上任意加括号构成的级数仍然收敛，且和不变： 注：①逆否命题：若加括号枸成的级数发散，则原级数一定发散： ②加括号构成的级数收敛，原级数不一定收敛： 如∑(-1)”=1-1+1-1+…是发撒的，但(0-1)+0-1)+…=0,1-(1-1)-1-1)-…=1均是 收敛表明级数收敛，但去掉括号后的新级数不一定收敛。 三、级数收敛的必要条件 如果2u发数，且和为5，即m5=5:又=5-5，不难得出即么=0 定理、级数立4，收绕的必要条件是m4,=0。 速：①四叫，=0是级数放级的必要条件，不是充分条件：如版数日调和纸数，虽然有 m,=m。=0,但2却是一个发散的饭数： ②逆否命题：如果有m山，≠0，则∑4，必发教。利用im4,≠0，判断出一些发散的级数。 例7、判断级数卫+牙，立nsin哥的数教性。 解：回=血+有=e0,北级数20+分发教： 4=恤m行-四西-恤兰=0，技经数空sn三发故. 用号号号号-空兮音m.县的片 8 第4页一共32页 事永安
《高等数学》下册教案第十二章无穷级数 §2、常数项级数的审敛法 一、正项级数审敛法 级数∑4，(u,20)#为正项纸载，而（≤0）则为负项级数：由于∑y)与y 有相同的敛散性，因此一下只讨论正项级数的敛散性的审敛法。 定理1、正项级数∑”，收敛的充要条件是级数的部分和数列S,)有界。 证：→：由于级数立4，收纹，由定义即板限m5,存在：根据数列极限的性质，载列5，》有 界，即SsM对所有的n成立。 =:已知数列S}有界，因为∑，是正项级数，故S,≤S1,即数列{S}还是单调的，从而 由极限存在准则，mS存在，即级数∑4，收敛。 创1、注明p-复数是在p>1时微数。 所：三是正项板数，只需委运明p>1时，部分中货列S)有界 8<空可 1 1 1 年双京或，可得8<二一米，义M因者0成<时者的成 2 立，素明列}有界，从而板它在p>1时放数。 第5页一共32页 基永安