《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 第八章空间解析几何与向量代数 空间解析几何主要就是用代数的方法处理一些几何的问题。 §1、向量（夫量） 一、向量的概念 向量：既有大小，又有方向的量称为向量，常用的表示方法有：MM2,a,a: 向量的模：向量的大小或向量的长度，记作|M,Ml,|al,或a: 单位向量：模为1的向量称为单位向量： 零向量：模为0的向量称为零向量：通常记作，O、或0：（注：零向量的方向是任意的） 负向量：与向量a方向相反，模相等的向量称为向量a的负向量，记作：-a: 向径：起点位于坐标原点的向量称为向径，常表示为：OM,F: 向量相等：a=b一a与方同向，且模相等|aHbl,在此意义下，通常的向量都是自由向量。 二、向量的线性运算 1、加减法 a-6 规定：a-b=a+(-b) a a-a=0 向量的加、减法遵循平行四边形法则或三角形法则： 2、数来（数来向量） 2数量，a~向量，则ā仍然是向量，且当元≠0时，ā/a, 「与ā同向2>0 a-001aH刘{00 -2 与a反向元<0 注：0a0.取8=同>0，则a-同石是与后同方向的半位向量，记作：高：与a 1 1 牛行的华位的圣±司 (2)将上面的等式变形为：āā引a°，表明任一非零向量均可用与其同方向的单位向量的数乘 来表示，并且所来的系数就是该向量的模|āl。 3、线性运算的运算律 第1页一共28页 票东安
《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 (1)交换律与结合律（加法) a+b-b+a (a+b)+c=a+6+e (2)结合律与分配律（数乘） (ua)=(au)后 (+u)后=a+ua 后+)=a+i 定理1、设ā，万为非零向量，则a/万一存在非零常数元，使得方=1ā :如果āu6,则o.即古6=主0不士：反之由62近及数来的定义 a 可知a/b。 注：定理表明，当两个向量平行时，其中一个向量必然可以用另一个向量的数乘表示，或两 个平行的向量可以相互线性表出。 三、向量的投影与投影向量 1、向量的投影：设向量ā，b的夹角为0(0≤0≤π)，称acos日为向量石在向量b方向的 投影，记作Prjāa|cos9,且 〔>00≤0<号 Prjaalcose0=00=告 <0号<0≤π 若记ā=M,M,且M在向量B方向上的投影点R,M,在向量b方向上的投影，点B,则： Prjaalcos0=RE=b,-h。 定理2.（投影定理）Prj(∑a)=∑Prja,。 注：向量的投影是一个数量。 2、投影向量：设向量ā在方方向上的授影为Prjā=PB=b,-h,则称向量RB为向量ā在万 方向上的投影向量，其中P店=(Pr,ā丽=么-4) RB与万方向相同时： P吧PEI(PP)°Prjāb=(rjā万=6，-b: RE与万方向相反时： RP=RPI(PP)=Prjal(-b)=(-PrjgaX-b)=(Prja)b=(b:-6) 第2页一共28页 票依安
(高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 注：如果0≤0<号，P与6同向：三<0≤x时，P丽与6反向。 §2、空间直角坐标系 一、空间直角坐标系 任意选定一参考点作为坐标原点，记作0。过点0作三条相互垂直的轴，依次称为x轴 y轴、z轴，它们的正方向符合右手规则，称为空间直角坐标系，也是右手系。 两两坐标轴确定一个平面，称之为坐标平面，简称坐标面，共有三个坐标平面：少面、 z面、r面。三个坐标面将整个三维空间划分为八部分，分别称为八个卦限。 空间，点M← 遮→有序数组(6，八，)，故称有序数组（化，以，）为M点的坐标，记作： M(x,y,z)。 例1、在坐标系中找出点M,(2,3,O),并写出其关于x0y面以及关于x轴的对称点的坐标。 解：M,(2,3,)关于x0y面的对称点M(23,-6):关于x轴的对称点M,(2,-3,6)。 特殊点及其坐标： 62 (1)坐标原点：0(0,0,0) (2在坐标轴上的点：如在x轴上的点M(x,0,0),· 3)在坐标面上的点如在xOy面上的点M(k,y,0）, 二、空间点的距离 设MG小、M,),则两点之同的距离为： M,M=V任2-x+y2-y}+62-} 特别，空间点M(x,yz)到原点O0,0,0)的距离为：r=OM=V2+y2+z 三、向量的坐标表示与分向量 1、向量的方向角：a,B,y,且0≤a,B,y≤π： 向量的方向余弦：cosa,cosB,cosy: 第3页一共28页 象来安
《高等数学》下册教案 第八章空间解析几何与向量代数 基本单位向量：，，(，依次代表三个坐标轴x,八，2抽正方向的单位向量，即分别代表 三个坐标轴的正方向。 2、向量的分解（沿坐标轴方向的分解） a=-M,M=M,P+M0+M,R,又M,P-PE=Prj,ai=alcosa.i,同理， M,0 alcosa.j,M,R=alcosa.,记a,acosa,a,alcosB,a,月alcosy,则： ā=a,i+a,j+a“分量表达式；a=a,a,a}“坐标表达式。 又a,a|cosa=Prja=x-x,a,=片-y,a=2-a,从而向量又可以写为： a=(32-x万+y,-y万+(32-2kā={，-xy2-22-z} 特别，对于起点在原点，终点为M(八z)的向量通常记作F=O,且 F=OM=xi+y+= 3、向量的坐标运算设ā={a,a,a,,万=，b,b,,则 a±i={a,±b,a,±b,a.±h} a={aa,0,a} a=i台a=b,a=b,a=ba/is万=a台点-久-点=元 a,a,a. 注：如果a,=0,则应理解为也有b=0。 四、向量的模、方向余弦的计算 1、模与方向余弦的计算 设向量为石=MM=(x-x)7+(y-片)i+(3-)k，且M,x水，)、M(:,y,2), 则向量的模即为M,与M,两点之间的距离，故 1āHM,M2=Vx-x)2+2-y)2+(32-z 或当向量写为：a={a,a,a}时，则 1a叶@+0+反oa-局oB-局oy-局 并由此可知，cos2a+cos2B+cosy=1(表明a,B,y不独立)。 2、时于与同方向的单在向量：司同是，因为 第4页一共28页 安
《高等数学》下册教案第八章空间解析几何与向量代数 aa=a,4a}=信，a}=coa.cop.cmy) 即：与a同方向的单位向量。的三个坐标分别为向量ā的方向余弦：cosa,cosB,cosy。 例1、已知A(4,0,5、B7,l3)试求与向量AB平行的单位向量。 解：AB={7-4,1-0,3-5}=3,1-2头，AE=V32+1P+2}=14,与向量AB平行的单位向 量为： 例2、向量ā=i+j+,万=2i+5k,求c=a-25以及c在x轴方向上的投影、投影向量。 解：=ā-25=+方+)-227+5f)=-37+j-4城={3,1，-4}，故在r轴方向上的投影为： -3:在x轴方向上的投影向量为：-3i。 例3、一向量的终点为B(2,-L,7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7，求此 向量的起点A的坐标。 解：设起点为A(a,b,c),则AB={2-a,-1-b,7-c},由题意，有AB={4,4,7}, 2-a=4-1-b=47-c=7 即a=-2,b=3,c=0,所求向量的起点为：4(-1,3,0)。 例4、利用向量的相关运算证明：三角形的中位线平行于底边，且等于底边的一半。 证：设D、E分别为CA、CB边的中点，则 Di=元-ci=c-a=-ca0 6 即：D呢=B,表明DE∥B,且DE非1AB。 例5、设向量的方向余弦分别满足(1)cosy-1:(2)cosa=cosB=0:试指出向量与坐标轴或坐 标面的关系。 解：(1)c0sy=1:即y=0,表明向量与z轴正方向一致：（可否回答：向量垂直于x0y坐标面？) 2c0su=cos月=0：即a=B=了，表明向量既叁直于x轴又叠直于y轴，也就是说向量叠直 于x0y坐标面。（我因为cos2a+cos2B+cos2y=1,故当 cosa=cosB=0时，即cos2y=1,或cosy=士1，表明向量平行于：轴。 第5页一共28页 票来安