例1.研究级数 … (x+1)x+2)(x+2)(x+3)(x+n)(x+n+1) 在区间[0,+∞)上的收敛性 解: (x+k)(x+k+1)x+kx+k+1 (k=1,2… x+1x+2x+2x+3 xtn x+n+1 x+1x+n+1
例1. 研究级数 + + + + + + + + + + + ( )( 1) 1 ( 2)( 3) 1 ( 1)( 2) 1 x x x x x n x n 在区间 [0, +∞) 上的收敛性. 解: 1 1 1 ( )( 1) 1 + + − + = x + k x + k + x k x k (k =1,2, ) + + − + + + − + = ) 3 1 2 1 ) ( 2 1 1 1 ( ) ( x x x x S x n ) 1 1 1 ( + + − + + x n x n 1 1 1 1 + + − + = x x n
(x)=lim Sn(x)=lim( n→00 n->∞0x+1x+n+1x+1 (0≤x<+0) 余项的绝对值 In(x)=s(x)-Sn(x) x+n+1n+1 0≤x<+∞) 因此任给E>0,取自然数N=[!-1则当n>N时有 n1(x)<E(0≤x<+∞) 这说明级数在D.,+∞)上一致收敛于S(x)= x+1
S(x) lim S (x) n n→ = ) 1 1 1 1 lim ( + + − + = n→ x x n 1 1 + = x (0 x +) 余项的绝对值: r (x) S(x) S (x) n = − n 1 1 + + = x n 1 1 + n (0 x +) 因此, 任给 > 0, 取自然数 1, 1 = − N 则当n > N 时有 r (x) (0 x +) n 这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 . 1 1 ( ) + = x S x
例2.证明级数 x+(x--x)+(x-x-)+∴+(x-x 在[0,1]上不一致收敛 证:Sn(x)=x+(x2-x) …+(x-x x 0.0≤x<1 x 0<x<1 (x)=S(x)-Sn(x)= 取正数<,对无论多么大的正数n,取xn=()" x∈0,1,而|r(x)=>E,因此级数在[0,1上不 致收敛
例2. 证明级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 在 [0,1] 上不一致收敛 . 证: n n n n S x = x + x − x + + x − x = x − ( ) ( ) ( ) 2 1 S(x) = 0, 0 x 1 1, x =1 rn (x) = S(x) − Sn (x) = , 0 x 1 n − x 0, x =1 取正数 , 2 1 对无论多么大的正数 n , 1 1 2 ( ) , n n 取x = [0, 1] , n x 1 2 ( ) , n n 而 r x = 因此级数在 [0, 1] 上不 一致收敛
Sn(x)=x 0.0≤x<1 X n=4 说明:对任意正数r<1, m30 级数在[0,r]上一致收敛 x 事实上,因为在[0,r1上n(x)<rn,任给E>0,欲使 n<,只要加因此取M/ n& 1,只要n>N 必有rn(x)<r"<E,即级数在[0,r]上一致收敛
y O x 说明: 1 n =1 n n S (x) = x S(x) = 0, 0 x 1 1, x =1 n = 2 n = 4 n =10 n = 30 (1,1) S(x) 对任意正数 r < 1, 级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 . 事实上, 因为在 [ 0, r ] 上 ( ) , n n r x r 任给 > 0, 欲使 , n r 只要 , ln ln r n 因此取 , ln ln r N = 只要 n N, ( ) , n n 必有 r x r 即级数在 [ 0, r ] 上一致收敛
用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时,需求出 Sn(x)及S(x)这往往比较困难下面介绍一个较方便的 判别法 魏尔斯特拉斯( Weierstrass)判别法(M-判别法或优判别法) 若函数项级数∑un1(x)在区间I上满足 (n=1,2,…) 2)正项级数∑an收敛 尔斯拉呼,E.( 则函数项级数∑ln(x)在区间/上一致收敛 n= 简介
魏尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法 用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出 S (x) S(x), n 及 这往往比较困难. 下面介绍一个较方便的 判别法. 若函数项级数 ( ) 1 u x n n = 在区间 I 上满足: 1) u (x) a (n =1, 2, ); n n 2) , 1 正项级数 n 收敛 n a = 则函数项级数 ( ) 1 u x n n = 在区间 I 上一致收敛 . 简介 (M-判别法或优判别法)