例.求证f(x)= 在(-∞,+∞)上一致收敛 1+n2x 证明:Vx∈(-∞,+∞), lim f, (x)=lim 0,逐点收敛于f(x)=0 n→)∞1+n2x 1 2nlx ∵fn(x)-f(x) < 2 1+n2x 2n1+n2x22n Bn=supx)-f(x)s2n→0 x∈(-∞,+∞0) f(x)致收敛于0,x∈(-∞,+0)
例. 证明： 2 2 ( ) ( , ) . 1 n x f x n x = − + + 求证 在 上一致收敛 − + x ( , ), 2 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 n x n x f x f x n x n n x n − = = + + 2 2 lim ( ) lim 0, ( ) 0. 1 n n n x f x f x → → n x = = = + 逐点收敛于 ( , ) 1 sup ( ) ( ) 0. 2 n n x f x f x n − + = − → ( ) 0, ( , ). n − + f x x 一致收敛于
例判断n(x)=,.22在(0,1)和(1,+∞)上是否一致收敛? nx 解:Vx,Iimf(x)=0 当1<x<+∞时,f(x)-f(x)= 1+nfx nfx nx n 月= sup f,(x)-f(x)≤2→>0致收敛 x∈(1,+∞) n 当0<x<1时, 而月,=supf(x)-f(x)≥,()-0 x∈(0,1) n 1+12 不→0,故在(0,1)上不一致收敛
例. 解： 一致收敛 故在(0,1)上不一致收敛. 2 2 ( ) (0,1) (1, ) 1 n nx f x n x = + + 判断 在 和 上是否一致收敛？ , lim ( ) 0. n n x f x → = 当1 , + x 时 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 n nx nx f x f x n x n x nx n − = = + (1, ) 1 sup ( ) ( ) 0 n n x f x f x n + = − → 当0 1 , x 时 (0,1) 1 1 1 sup ( ) ( ) ( ) 0 , 1 1 2 n n n x f x f x f n = − − = = + 而 不→ 0
定义.设Sx)为∑n(x)在区间/上的和函数若对 任意给定的E>0,都有一个只依赖于s的自然数N,使 当n>N时,对区间I上的一切x都有 n(x)=S(x)Sn(x)<8 则称该级数在区间Ⅰ上一致收敛于和函数x) 显然在区间上 ∑un(x)-致收敛于和函数S(x) 部分和序列Sn(x)一致收敛于Sx) ←余项n(x)-致收敛于0
定义. 设 S(x) 为 ( ) 1 u x n n = 若对 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有 r (x) = S(x) − S (x) n n 则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) . 在区间 I 上的和函数, 任意给定的 > 0, 显然, 在区间 I 上 ( ) 1 u x n n = 一致收敛于和函数S(x) 部分和序列 S (x) n 一致收敛于S(x) 余项 r (x) n 一致收敛于 0
几何解释:(如图) VE>0,N∈N+,当n>N时,S(x)-Sn(x)<E表示 曲线y=Sn1(x)总位于曲线y=S(x)-E与y=S(x)+E 之间 =S(x)+E y=S(x y=Sno y=S(r)-8
几何解释 : (如图) y = S(x) + y = S(x) − I x y = S(x) 0, , N N+ 当n > N 时, S(x) − Sn (x) 表示 曲线 总位于曲线 y = S(x) −与y = S(x) + y S (x) = n y S (x) = n 之间
定理柯西收敛原理) ∑u1(x)在/上一致收敛于S(x)→vE>0,3N()∈N+, 当n>N(a)时,x∈1,vp∈N,mn(x)+…+m(x)<a 推论若∑u1(x)在上一致收敛,则{1(x)在/上一致 n=l 收敛于0。 逆否命题 若{n(x)在/上不一致收敛于0,则∑4(x)在/上不一致收敛 例讨论∑ne在(,+)上的一致收敛性 n=1
定理(柯西收敛原理) 1 ( ) ( ) n n u x I S x = 在 上一致收敛于 0, ( ) , N N+ 1 , , ( ) ( ) . n n p x I p N u x u x + + + + + 当n N ( ) , 时 推论 逆否命题: 收敛于0。 1 ( ) { ( )} n n n u x I u x I = 若 在 上一致收敛，则 在 上一致 1 { ( )} 0, ( ) . n n n u x I u x I = 若 在 上不一致收敛于 则 在 上不一致收敛 例 1 (0, ) . nx n ne − = 讨论 在 + 上的一致收敛性