《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第三章 矩阵的运算 §3.2 逆矩阵

第三章矩阵的运算 由于 Al i=j 4,A+aa4++a.An=0 i≠i 可得： g+4,++0uAy=17 i≠i 0 0 0 14I 0 AA=AA- . -AE 。 0 0 . [A1 只要A≠0，就有()=（有4）A=E

第三章 矩阵的运算 可得： * * | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A AA A A A E A                 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 i j i j in jn i j i j ni nj A i j a A a A a A i j A i j a A a A a A i j                     由于 1 * 1 * A 0 A( A ) ( A )A E A A 只要  ，就有  

第三章矩阵的运算 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） n阶方阵A可逆一A≠0，而且A1 A 证明 ""(充分) 已证 "→"（必要） 若A可逆，则存在A1,使得AA1=E 两边取行列式，得|AA1=A‖A1=E=1 所以 A≠0

第三章 矩阵的运算 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） . | | 1 | | 0 1     A A n阶方阵 A可逆 A ，而且 A 证明 ""(充分) 已证. ""(必要) 1 1 A A AA E   若 可逆，则存在 ，使得  两边取行列式，得 1 1 | AA | | A || A | | E | 1      所以 | A| 0

第三章矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B,使 AB=E或BA=E 则A可逆，且B为A的逆矩阵， 证明： 设AB=E 则|AB=|A‖B=|E=1 所以|A卡0，由定理可知，A可逆， 设其逆矩阵为A1,则有 B=EB=(A-A)B=A-(AB)=A-E=A 同理可证，若BA=E,则B=~1

第三章 矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使 AB=E 或 BA=E 则A可逆，且B为A的逆矩阵. 证明： 设AB=E 则 | AB || A|| B || E | 1 所以 | A| 0, 由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A-1 ,则有 B  EB  1 (A A)B  1 A (AB)   1 A E   同理可证，若BA=E，则 1 B A .   1 A  

第三章矩阵的运算 12 -1 例1判断A= 3 0 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 -10 -2 解： 由于A=9≠0，故A可逆，又 A1=-2,A2=4,A31=4, A12=-2,A22=-3,A32=-3 A13=1,A23=-2,A33=-5, 2 1 于是 9 9 9 「-2 4 1 1 -3 -3 二3 3 3 5 1 2

第三章 矩阵的运算 1 2 1 1 3 1 0 . 1 0 2 A          例 判断 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 解： 由 于 A  9  0， 故 A 可逆，又 A11=-2， A21=4， A31=4， A12=-2， A22=-3， A32=-3 A13=1， A23=-2 ， A33=-5 ， 于是 1 * 2 4 1 1 1 6 3 3 9 1 2 5 A A A                2 4 1 9 9 9 2 1 1 3 3 3 1 2 5 9 9 9           

第三章矩阵的运算 逆矩阵的性质 (1)若A可逆，则4，A亦可逆，且 (A1)1=A,(A1=(A1) (2)若A可逆，数入≠0，则2A可逆，且 = (3)若A,B均可逆，则AB亦可逆，且 (AB)1=B1A1

第三章 矩阵的运算 逆矩阵的性质   1 1 1 1 1 1 , , , ( ) , ( ) ( ) . A A A A A A A           若 可逆 则 亦可逆 且     1 1 2 , 0, , 1 . A A A A         若 可逆 数 则 可逆 且   1 1 1 3 , , , ( ) A B AB AB B A     若 均可逆 则 亦可逆 且