§2.6对数与对数函数 基础知识·自主学习 要点梳理 知识回顾理清教材 对数的概念 如果a=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logN,其中a 叫做对数的底数,N叫做真数 对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 Dlog( MN)=log, M+logN: @log M=log,M-logN ③ Logar= nogal(n∈R):④ loammI="gM (2)对数的性质 ① logan=N gad=N(a>0且a≠1) (3)对数的重要公式 ①换底公式: logiN"16(a,b均大于零且不等于1) logba 推广 logan- logic. loged=logd 3.对数函数的图象与性质
§2.6 对数与对数函数 1．对数的概念 如果 a x＝N(a>0 且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，其中__a__ 叫做对数的底数，__N__叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga M N ＝logaM－logaN； ③logaM n＝nlogaM (n∈R)；④logamM n＝ n m logaM. (2)对数的性质 ①alogaN＝__N__；②logaa N＝__N__(a>0 且 a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝ logaN logab (a，b 均大于零且不等于 1)； ②logab＝ 1 logba ，推广 logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数的图象与性质
>1 0 y 图象 (0 (0,1) 定义域 (1)R 值域 (2)(0,+∞) (3)过定点(0,1) (4)当x>0时,y>1;(5)当x>0时,<y<1 性质当x<0时,0<y<1当x<0时,y>1 (6)在(一∞,+∞)上(7)在(-∞,+∞)上是 是增函数 减函数 4反函数 指数函数y=d与对数函数y= logan互为反函数,它们的图象关于直线_ 对称 夯基释疑 夯实基础突破疑难 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若log2(logx)=log(logy)=0,则x+y=5 (2)2logs10+logs0.25=5 (×) (3)已知函数f(x)=lgx,若fab)=1,则fa2)+fb)=2 (4)log2x=2log2x (×) (5)当x>1时, logan>0 (6)当x1时,若 lomax>logx,则a<b 2.(2013课标全国Ⅱ)设a=log6,b= =logs l0,c=log714,则 答案 解析a=log36=1+log2=1+ c=log714=1+log2=1+ 显然a>b>c 3.(2013浙江已知x,y为正实数,则
4.反函数 指数函数 y＝a x与对数函数 y＝logax 互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则 x＋y＝5. ( √ ) (2)2log510＋log50.25＝5. ( × ) (3)已知函数 f(x)＝lg x，若 f(ab)＝1，则 f(a 2 )＋f(b 2 )＝2. ( √ ) (4)log2x 2＝2log2x. ( × ) (5)当 x>1 时，logax>0. ( × ) (6)当 x>1 时，若 logax>logbx，则 a<b. ( × ) 2．(2013·课标全国Ⅱ)设 a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 ( ) A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 答案 D 解析 a＝log36＝1＋log32＝1＋ 1 log23 ， b＝log510＝1＋log52＝1＋ 1 log25 ， c＝log714＝1＋log72＝1＋ 1 log27 ，显然 a>b>c. 3．(2013·浙江)已知 x，y 为正实数，则 ( ) A．2 lg x＋lg y＝2 lg x＋2 lg y B．2 lg(x＋y)＝2 lg x·2lg y
C. 2g rlg y=2g -+2gy D. 2g r=2g x. 2lg3 答案D 解析2gx.2gy=2gx+ly 4.函数fx)=log(2x+1)的单调增区间是 答案(2,+∞) 解析函数fx)定义域为(-2,+∞), 令t=2x+1(D>0) 因为y=logt在t∈(0,+∞)上为增函数 =x+1在(-2,+)止上为增函数, 所以函数y=log(2x+1)的单调增区间是(-,+∞) 5.已知/是定义在R上的偶函数,且在+∞)上为增函数,=0,则不等式Q 的解集为 1. 答案0,5U(2,+∞) 解析∵x)是R上的偶函数, ∴它的图象关于y轴对称 ∵f(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴fx)在(-∞,0上为减函数, 由A)=0,得 ∴ log-x)>0→gx-,或logx →x>2或0<x (2,+∞) 题型分类·深度剖析 题型一对数式的运算 例n(1)若x=log3,则(2x-2)2等于 B (2)已知函数f(x) Logix,x>0 则1)+f(og5)的值是 B.3 思维启迪(1)利用对数的定义将x=log43化成4=3;
C．2 lg x·lg y＝2 lg x＋2 lg y D．2 lg(xy)＝2 lg x·2lg y 答案 D 解析 2 lg x·2lg y＝2 lg x＋lg y ＝2 lg(xy)．故选 D. 4．函数 f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________． 答案 (－ 1 2 ，＋∞) 解析 函数 f(x)的定义域为(－ 1 2 ，＋∞)， 令 t＝2x＋1(t>0)． 因为 y＝log5t 在 t∈(0，＋∞)上为增函数， t＝2x＋1 在(－ 1 2 ，＋∞)上为增函数， 所以函数 y＝log5(2x＋1)的单调增区间是(－ 1 2 ，＋∞)． 5．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f 1 3 ＝0，则不等式 f(log1 8 x)>0 的解集为________________． 答案 0， 1 2 ∪(2，＋∞) 解析 ∵f(x)是 R 上的偶函数， ∴它的图象关于 y 轴对称． ∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞，0]上为减函数， 由 f 1 3 ＝0，得 f － 1 3 ＝0. ∴f(log1 8 x)>0⇒log1 8 x<－ 1 3 或 log1 8 x> 1 3 ⇒x>2 或 0<x< 1 2 ， ∴x∈ 0， 1 2 ∪(2，＋∞). 题型一 对数式的运算 例 1 (1)若 x＝log43，则(2 x－2 －x ) 2 等于 ( ) A.9 4 B.5 4 C.10 3 D.4 3 (2)已知函数 f(x)＝ log2x，x>0， 3 －x＋1，x≤0， 则 f(f(1))＋f(log3 1 2 )的值是 ( ) A．5 B．3 C．－1 D.7 2 思维启迪 (1)利用对数的定义将 x＝log43 化成 4 x＝3；
(2利用分段函数的意义先求f1),再求(1) flog)可利用对数恒等式进行计算 答案(1)D(2)A 解析()x=log3,得4=3,即2=3 所以(2x-22)2=( 4 (2)因为1)=log2l=0,所以(1)=0)=2 因为lg20,所以og:2)=3-1g2+1 =3log2+1=2+1=3 所以1)+fog)=2+3=5 思维升华在对数运算中,要熟练掌握对数式的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公 弌和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式 跟踪训练1已知函数fx)= (),x≥4, 则f(2+log23)的值为 答案 解析因为2+log23<4 所以f2+log23)=f3+log23), 而3+log23>4 所以3+0g3)=(23+1g3=×(2)g3 1×1=1 题型二对数函数的图象和性质 【例2】(1)函数y=2lg4(1-x)的图象大致是 (2)已知风x)是定义在(一∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0上是增函数,设a=f(log47, b=og13),c=0.2-06),则a,b,c的大小关系是
(2)利用分段函数的意义先求 f(1)，再求 f(f(1))； f(log3 1 2 )可利用对数恒等式进行计算． 答案 (1)D (2)A 解析 (1)由 x＝log43，得 4 x＝3，即 2 x＝ 3， 2－x＝ 3 3 ，所以(2 x－2－x ) 2＝( 2 3 3 ) 2＝ 4 3 . (2)因为 f(1)＝log21＝0，所以 f(f(1))＝f(0)＝2. 因为 log3 1 2 <0，所以 f(log3 1 2 )＝3－log3 1 2 ＋1 ＝3log32＋1＝2＋1＝3. 所以 f(f(1))＋f(log3 1 2 )＝2＋3＝5. 思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公 式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式． 已知函数 f(x)＝ ( 1 2 ) x，x≥4， f(x＋1)，x<4， 则 f(2＋log23)的值为________． 答案 1 24 解析 因为 2＋log23<4， 所以 f(2＋log23)＝f(3＋log23)， 而 3＋log23>4， 所以 f(3＋log23)＝( 1 2 )3＋log23＝ 1 8 ×( 1 2 )log23 ＝ 1 8 × 1 3 ＝ 1 24. 题型二 对数函数的图象和性质 例 2 (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是 ( ) (2)已知 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设 a＝f(log47)， b＝f(log 2 1 3)，c＝f(0.2－0.6)，则 a，b，c 的大小关系是 ( )
c. b<csa D. a<k<c 思维启迪(1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象; (2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小,利用函数的单调性或中间值可达到目的 答案(1)C(2)B 解析(1)函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A、B; 又函数y=2log(1-x)在定义域内单调递减,排除D选C 3: b=f(log 3)=f(-log49)=f(log4 9) log7<log9,02-06(1)3 -3=√125y32=20g9, 又x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数, 且在(-∞,0上是增函数, 故fx)在[0,+∞)上是单调递减的, f0.2-08)≤flog13)<(log7),即cba 思维升华(1)函数的单调性是函数最重要的性质,可以用来比较函数值的大小,解不等 式等 (2)函数图象可以直观表示函数的所有关系,充分利用函数图象解题也体现了数形结合的 思想 跟踪训练2()已知a=2,b=(),c=2g2.则a,b,c的大小关系为) B. c<a<b c. bcasc (2)已知函数fx)=log(x+b)(a0且a≠1)的图象过两点(-1,0)和(O,1),则a= 答案(1)A(2)22 解析(1)b= c=2l0g52=logs 2<logs 5=1<20.8=b 故c<b< (2(x)的图象过两点(-10)和O,1) 则f-1)=log(-1+b)=0且f0)=log0+b)=1 b-1=1 题型三对数函数的应用
A．c<a<b B．c<b<a C．b<c<a D．a<b<c 思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象； (2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的． 答案 (1)C (2)B 解析 (1)函数 y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除 A、B； 又函数 y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除 D.选 C. (2)log 2 1 3＝－log23＝－log49， b＝f(log 2 1 3)＝f(－log49)＝f(log49)， log47<log49,0.2－0.6＝ 1 5 － 3 5 ＝ 5 125> 5 32＝2>log49， 又 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数， 故 f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f(0.2－0.6)<f(log 2 1 3)<f(log47)，即 c<b<a. 思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等 式等； (2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的 思想． (1)已知 a＝2 1.2，b＝ 1 2 －0.8，c＝2log52，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a (2)已知函数 f(x)＝loga(x＋b) (a>0 且 a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则 a＝________， b＝________. 答案 (1)A (2)2 2 解析 (1)b＝ 1 2 －0.8＝2 0.8<21.2＝a， c＝2log52＝log52 2<log55＝1<20.8＝b， 故 c<b<a. (2)f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则 f(－1)＝loga(－1＋b)＝0 且 f(0)＝loga(0＋b)＝1， ∴ b－1＝1 b＝a ，即 b＝2 a＝2 . 题型三 对数函数的应用