3.2对数与对数函数 重点、难点、易错点 解读对数概念及运算 对数是中学数学中重要的内容之一,理解对数的定义,掌握对数 的运算性质是学习对数的重点内容.现梳理这部分知识,供同学们参 考. 、对数的概念 对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即ab N→logN=b(a>0,且a≠1),据此可得两个常用恒等式:(1) Dlogaab=b; (2)algan=N 例1计算:log2+logs1+log?79log2 分析根据定义,再结合对数两个恒等式即可求值 解原式=1+0+log3-3+(3og32}=1-3+4=2 点评解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对 数式化为同底数 、对数的运算法则 常用的对数运算法则有:对于M0,N0 (1)loga(MN)=logaM+logan; (2)logax-logaM-logaN: (3logaMn=-nlogaM. 例2计算:lg14-2lg3+g7-lg18 分析运用对数的运算法则求解. 解由已知,得 原式=lg(2×7)-2(g7-1g3)+lg7-1g(32×2) =lg2+1g7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0 点评对数运算法则是进行对数运算的根本保证同学们必须能 从正反两方面熟练应用 三、对数换底公式 根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式
3.2 对数与对数函数 解读对数概念及运算 对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数 的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参 考． 一、对数的概念 对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即 a b＝ N⇔logaN＝b(a>0，且 a≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaa b＝b； (2)alogaN＝N. 例 1 计算：log22＋log51＋log3 1 27＋9log32. 分析 根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值． 解 原式＝1＋0＋log33－3＋(3log32) 2＝1－3＋4＝2. 点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对 数式化为同底数． 二、对数的运算法则 常用的对数运算法则有：对于 M>0，N>0. (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga M N ＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM. 例 2 计算：lg 14－2lg 7 3 ＋lg 7－lg 18. 分析 运用对数的运算法则求解． 解 由已知，得 原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(3 2×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能 从正反两方面熟练应用． 三、对数换底公式 根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式：
lo log, b pg (a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0) ogsa 由对数换底公式又可得到两个重要结论 (1logab-logha=1 (2) logan,bm、x 例3计算:(og25+log4125) og log√35 分析在利用换底公式进行化简求值时,一般是根据题中对数式 的特点选择适当的底数进行换底,也可选择以10为底进行换底 og 解原式=(0og5+S)×og5 og25×log2=4 点评对数的换底公式是“同底化”的有力工具,同学们要牢 记 通过上面讲解,同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互 化的依据,正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径.对数的 运算性质,同学们要熟练掌握,在应用过程中避免错误,将公式由“正 用”“逆用”逐步达到“活用”的境界 对数换底公式的证明及应用 设a0,∞0且a≠1,c≠1,N0,则有1lgN=9A,这个公 式称为对数的换底公式,它在对数的运算中有着重要的应用,课本中 没有给出证明,现证明如下: 证明记p=logN,则aP=N* *式两边同时取以c为底的对数(c>0且c≠1)得 log ap= log N, Bp plog a=logN 所以p ,即logN logn 推论1: logab loga=1 推论2: loganin= -oab(>0且a≠1,b>0). 例4(1)已知logs9=a,18b=5,求log3645的值 (2)求log23og34log5…log564的值
logab＝ logcb logca (a>0 且 a≠1，c>0 且 c≠1，b>0)． 由对数换底公式又可得到两个重要结论： (1)logab·logba＝1； (2)loganb m＝ m n logab. 例 3 计算：(log25＋log4125)× log32 log 35 . 分析 在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式 的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以 10 为底进行换底． 解 原式＝(log25＋ 3 2 log25)× log32 2log35 ＝ 5 2 log25× 1 2 log52＝ 5 4 . 点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢 记． 通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互 化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的 运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正 用”“逆用”逐步达到“活用”的境界． 对数换底公式的证明及应用 设 a>0，c>0 且 a≠1，c≠1，N>0，则有 logaN＝ logcN logca ，这个公 式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中 没有给出证明，现证明如下： 证明 记 p＝logaN，则 a p＝N.* *式两边同时取以 c 为底的对数(c>0 且 c≠1)得 logca p＝logcN，即 plogca＝logcN. 所以 p＝ logcN logca ，即 logaN＝ logcN logca . 推论 1：logab·logba＝1. 推论 2：loganb m＝ m n logab(a>0 且 a≠1，b>0)． 例 4 (1)已知 log189＝a,18b＝5，求 log3645 的值； (2)求 log23·log34·log45·…·log6364 的值．
解(图为1g9=a18=5,所以18=a 所以lg9=alg18,lg5=blg18 所以lg45=165×9)g5+lg9 21g 18-Ig 9 blg 18+alg 18 6+a 21g 18-alg 18 2-a (2)log23 log34- log45-..log6364 Ig 3 1g 4 lg 5 1g 64 Ig 2 1g 3 1g4 Ig 63 Ig 64 6g 2 1g 2 Ig 2 点评对数运算法则中,对数式都是同底的,凡不同底的对数运 算,都需要用换底公式将底统一,一般统一成常用对数 例5已知g+86 logb+loga2=7,求ab的值 Dga +olog 解由已知可得 clog2b+ logia=7 loga +3l0g,b=15 logia=6 即 解得 3log2a+ log26=21 l0g26=3 所以a=26,b=2故ab=2623=512 点评发现底数4”,“8”与2的关系,将底数统一成2”,解决 问题比较简单 此外还有下面的关系式:logM og logaN logaM logaMlog N= logaN-log M: logaM logan log,M los =log,b b NogaL= MogaN 对数函数图象及性质的简单应用
解 (1)因为 log189＝a,18b＝5，所以 lg 9 lg 18＝a. 所以 lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18. 所以 log3645＝ lg(5×9) lg 182 9 ＝ lg 5＋lg 9 2lg 18－lg 9 ＝ blg 18＋alg 18 2lg 18－alg 18 ＝ b＋a 2－a . (2)log23·log34·log45·…·log6364 ＝ lg 3 lg 2 · lg 4 lg 3 · lg 5 lg 4 ·…· lg 64 lg 63 ＝ lg 64 lg 2 ＝ 6lg 2 lg 2 ＝6. 点评 对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运 算，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数． 例 5 已知1 2 log8a＋log4b＝ 5 2 ，log8b＋log4a 2＝7，求 ab 的值． 解 由已知可得 1 6 log2a＋ 1 2 log2b＝ 5 2 ， 1 3 log2b＋log2a＝7， 即 log2a＋3log2b＝15， 3log2a＋log2b＝21. 解得 log2a＝6， log2b＝3. 所以 a＝2 6，b＝2 3 .故 ab＝2 6·23＝512. 点评 发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决 问题比较简单． 此外还有下面的关系式：logNM＝ logaM logaN ＝ logbM logbN ； logaM·logbN＝logaN·logbM； logaM logbM ＝ logaN logbN ＝logab； NlogaM＝MlogaN. 对数函数图象及性质的简单应用
对数函数图象是对数函数的一种表达形式,形象显示了函数的性 质,为研究它的数量关系提供了“形”的直观性.它是探求解题思路、 获得问题结果的重要途径.能准确地作出对数函数的图象是利用平 移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提,而数形结合是研究与 对数函数的有关问题的常用思想 、求函数的单调区间 例6画出函数y=logx2的图象,并根据图象指出它的单调区间. 解当x≠0时,函数y=logx2满足 f( -x)=log2(-x)=log=f(x) 所以y=logx2是偶函数,它的图象关于y轴对称 当x>0时,y=log2x2=2logx, C? 因此先画出y=2log2x(x>0)的图象为C1,再作出C1关于y轴对称 的图象C2,C1与C2构成函数y=logx2的图象,如图所示 由图象可以知道函数y=logx2的单调减区间是(-∞,0),单调 增区间是(0,+∞) 点评作图象时一定要考虑定义域否则会导致求出错误的单调 区间,同时在确定单调区间时,要注意增减区间的分界点,特别要注 意区间的开与闭问题 二、利用图象求参数的值 例7若函数x)=log(x+1)a>0,a≠1)的定义域和值域都是 [0,1],则a等于() B. 2 D.2 11x 解析当a>1时,(x)=logA(x+1)的图象如图所示 f(x)在[O,1上是单调增函数,且值域为[0,1], 所以f1)=1,即og(1+1)=1
对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性 质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题思路、 获得问题结果的重要途径．能准确地作出对数函数的图象是利用平 移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与 对数函数的有关问题的常用思想． 一、求函数的单调区间 例 6 画出函数 y＝log2x 2的图象，并根据图象指出它的单调区间． 解 当 x≠0 时，函数 y＝log2x 2满足 f(－x)＝log2(－x) 2＝log2x 2＝f(x)， 所以 y＝log2x 2是偶函数，它的图象关于 y 轴对称． 当 x>0 时，y＝log2x 2＝2log2x， 因此先画出 y＝2log2x(x>0)的图象为 C1，再作出 C1关于 y 轴对称 的图象 C2，C1与 C2构成函数 y＝log2x 2的图象，如图所示． 由图象可以知道函数 y＝log2x 2 的单调减区间是(－∞，0)，单调 增区间是(0，＋∞)． 点评 作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调 区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注 意区间的开与闭问题． 二、利用图象求参数的值 例 7 若函数 f(x)＝loga(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是 [0,1]，则 a 等于( ) A. 1 3 B. 2 C. 2 2 D．2 解析 当 a>1 时，f(x)＝loga(x＋1)的图象如图所示． f(x)在[0,1]上是单调增函数，且值域为[0,1]， 所以 f(1)＝1，即 loga(1＋1)＝1
所以a=2 当0<a<1时,其图象与题意不符,故a的值为2,故选D. 答案D 点评(1)当对数的底数不确定时要注主意讨论 (2注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域) 、利用图象比较实数的大小 例8已知logn2<log2,m,n>1,试确定实数m和n的大小关系 y=logar 解在同一直角坐标系中作出函数y=logn与y=log灬的图象如 图所示,再作x=2的直线,可得m>n 点评不同底的对数函数图象的规律是 (1)底都大于1时,底大图低即在x1的部分底越大图象就越接 近x轴);(2)底都小于1时,底大图高(即在0<x<1的部分底越大图象 就越远离x轴) 四、利用图象判断方程根的个数 例9已知关于x的方程|ogx=a,讨论a的值来确定方程根的个 数 解因为y=logx 「lgx x>1 log, 0<x<I 在同一直角坐标系中作出函数与y=a的图象,如图可知 (1)当a<0时两个函数图象无公共点所以原方程根的个数为0; (2当a=0时,两个函数图象有一个公共点,所以原方程根有1 个 (3当a0时,两个函数图象有两个公共点,所以原方程根有2
所以 a＝2， 当 0<a<1 时，其图象与题意不符，故 a 的值为 2，故选 D. 答案 D 点评 (1)当对数的底数不确定时要注意讨论； (2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域)． 三、利用图象比较实数的大小 例 8 已知 logm2<logn2，m，n>1，试确定实数 m 和 n 的大小关系． 解 在同一直角坐标系中作出函数y＝logmx与y＝lognx的图象如 图所示，再作 x＝2 的直线，可得 m>n. 点评 不同底的对数函数图象的规律是： (1)底都大于 1 时，底大图低(即在 x>1 的部分底越大图象就越接 近 x 轴)；(2)底都小于 1 时，底大图高(即在 0<x<1 的部分底越大图象 就越远离 x 轴)． 四、利用图象判断方程根的个数 例 9 已知关于 x 的方程|log3x|＝a，讨论 a 的值来确定方程根的个 数． 解 因为 y＝|log3x| ＝ log3x， x>1， －log3x， 0<x<1， 在同一直角坐标系中作出函数与 y＝a 的图象，如图可知： (1)当 a<0 时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为 0； (2)当 a＝0 时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根有 1 个； (3)当 a>0 时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根有 2 个．