对数与对数函数 教学目标:掌握对数运算(高考要求A)及对数函数的有关概念(高考要求B) 教学重难点:熟悉对数的运算,掌握对数函数图像性质及其应用。 教学过程: 知识要点: 1对数概念 (1)对数的定义:如果a=b(a>0,a≠1),那么b叫做以a为底N的对数,记 做 log m=b(a>0a≠1),由定义知负数和0没有对数。通常以10为底的对数叫做 常用对数,记做gN=logN。以无理数e=2.71828…为底的对数叫做自然对数 记做nN=log,N。 (2)对数的运算性质 log。MN= log. m+ log m, log. M"=n·log。M, logb=" log, b、(M,N,a,b,n,m>0,a≠1) (3)对数的恒等式: log 1=0, log a=1 N log b= Dgb a log, a log blog, c=logar,(a,b,c, N>0, a, b+1) 2.对数函数: (1).定义:形如y=1ogx(a>0,a≠1)的函数叫做对数函数。 (2).对数函数的图象与性质: >1 0<a<1 图
对数与对数函数 教学目标：掌握对数运算（高考要求 A）及对数函数的有关概念（高考要求 B）. 教学重难点：熟悉对数的运算，掌握对数函数图像性质及其应用。 教学过程： 一.知识要点： 1.对数概念 （1）对数的定义：如果 ( 0, 1) n a b a a = ，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记 做 log 0, 1 a N b a a = ( ) ，由定义知负数和 0 没有对数。通常以 10 为底的对数叫做 常用对数，记做 10 lg log N N = 。以无理数 e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数。 记做 ln log N N = e 。 （2）对数的运算性质： ( ) log log log , log log log . log log , log log , , , , , , 0, 1 m a a a a a a n n a a a a M MN M N M N N n M n M b b M N a b n m a m = + = − = • = （3）对数的恒等式： ( ) log log log log 1 0, log 1, , log 1 log , log , log log log , , , , 0, , 1 log log a b b N N a a a b a a a b a b b a a N a N N N b b c c a b c N a b a a = = = = = = • = 2.对数函数： （1）.定义：形如 y=log a x (a>0,a≠1)的函数叫做对数函数。 （2）.对数函数的图象与性质： a>1 0<a<1 图 象
性|(1)定义域:(0,+∞),值域为R 质(2)过点(1,0)与(a,1) (3) x> <0(x>1) a1时10g。x{=0(x=1) 0<a11ogax{=0(x=1) 0(x<1) 0(x<1) (4)在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数 对数函数y=1ogaX(a>0,a≠1)与指数函数y=a(a>0,a≠1)互为反函数,它 们的定义域与值域正好互换,它们的对应法则是互逆的,其图象关于y=x对称。 (3).对数有关的大小比较的基本思路:1)利用函数的单调性,2)作差或 作商法,3)利用中间量。4)化同底或化同指数。5)放缩法 二.基础练习 若x∈(e-,1),a=lnx,b=2lnx,c=1nx,则b<a<c 2.已知3=5=A,且1+1=2,则A的值是√5 3.已知1og[1og;(1ogx)]=0,那么x等于y 2.已知0<a<1,b>1,b>1,则1og,1mb,的大小关系是kgb<le<e 3.函数f(x)=1n(x=3x+2+=x2=3x+4)的定义域为_[-4,0)U(0,1 4.设f(x)=1g2x,则fe+n2的定义域为(4,-1)U(1,4 5.函数y=1g(x2+2x+m)的值域是R,则m的取值范围是m≤1 6.已知函数f(2)的定义域是[-1,1],求f(1ogx)的定义域 解∵y=f(2)的定义域是[-1,1],即-1≤x≤1,≤2≤2. ∴函数y=f(log2x)中≤10gx≤2.即10g2≤10g2X≤log4,∴互≤x≤4. 故函数f(logx)的定义域为[,4 例题精讲: 题型1:对数运算
性 质 （1） 定义域：（0，＋∞），值域为 R （2） 过点（1,0）与（a,1） （3） a>1 时 log a x ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 x x x = = 0<a<1 log a x ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 x x x = = （4） 在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数 对数函数 y=log a x (a>0,a≠1)与指数函数 y=a x (a>0,a≠1)互为反函数，它 们的定义域与值域正好互换，它们的对应法则是互逆的，其图象关于 y=x 对称。 （3）.对数有关的大小比较的基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或 作商法，3）利用中间量。4）化同底或化同指数。5）放缩法。 二.基础练习： 1.若 x∈(e-1 ,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3 x,则 b＜a＜c 2.已知 3 a =5b =A,且 a b 1 1 + =2，则 A 的值是 15 3.已知 log7［log3(log2x)］=0，那么 1 2 x − 等于 4 2 2.已知 0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则 loga b b b a b 1 ,log ,log 1 的大小关系是 b b b a b a 1 log 1 log log 3. 函数 f（x）= x 1 ln（ 3 2 3 4 2 2 x − x + + − x − x + ）的定义域为 ［-4，0）∪（0，1） 4.设 f(x)=lg x x − + 2 2 ,则 f ) 2 ) ( 2 ( x f x + 的定义域为 (-4,-1)∪(1,4) 5.函数 y=lg(x2 +2x+m)的值域是 R,则 m 的取值范围是 m≤1 6.已知函数 f(2x）的定义域是［-1，1］，求 f(log2x)的定义域. 解∵y=f(2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴ 2 1 ≤2 x≤2. ∴函数 y=f(log2x)中 2 1 ≤log2x≤2.即 log2 2 ≤log2x≤log24,∴ 2 ≤x≤4. 故函数 f(log2x)的定义域为［ 2 ，4］ 三.例题精讲： 题型 1：对数运算
例1计算:(1)lg(2-√3)(2)2(1g)2+1g2·1g5+Vg2)-k2+1 (3)1g32-41g+1g√24 解(1)方法一利用对数定义求值设mg(2-√5)=x, 则(2+3)2=2-3 方法二利用对数的运算性质求解 (2+)-=1 (2)原式=g(21g+1g5)+gy-2√+=g(1g2+1g5)+1g-1 =1g+(1-1g)=1 (3)原式=(1g32-1g49)-41g8+1g245=1(51g2-2lg7)-4×3g2+1(21g7+1g5) =51g2-1g7-21g2+1g7+11g5=11g2+11g5=1g(2×5)=11g10=1 题型2:对数函数性质及应用. 例2比较下列各组数的大小. (1)1og2与log5;(2)1og1.0.7与log120.7 (3)已知1og,b<1og,a<log,c,比较2,2,2的大小关系 解(1)∵10g2<log1=0,而log35>1og51=0,∴log2<log5 (2)方法一∵0<0.7<1,1.1<1.2,∴0>lg,1lgn12, logo, 1. 1 log, 1.2 即由换底公式可得log.0.7<log120.7 方法二作出y=10g1x与y=logx的图象 如图所示两图象与x=0.7相交可知log10.7<10g120.7. (3)∵y=g,x为减函数,且log:b<loga<log:c, ∴b>a>c,而y=2是增函数,∴2>23>2 变式:(209全国卷Ⅱ理)设a= log, T, b=10g2√.c=lgV2,则a>b>c log3v<log2v2<log2√3∴b>clog2√3<log2=log3< log. a>b:a>b>c 例3.已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,1-√]上是单调递减函数 求实数a的取值范围
例 1 计算：（1） log (2 3) 2 3 − + （2）2(lg 2 ) 2 +lg 2 ·lg5+ (lg 2) lg 2 1 2 − + ; （3） 2 1 lg 49 32 - 3 4 lg 8 +lg 245 . 解 （1）方法一 利用对数定义求值 设 log (2 3) 2 3 − + =x, 则(2+ 3 ) x =2- 3 = 2 3 1 + =（2+ 3 ）-1 ,∴x=-1. 方法二 利用对数的运算性质求解 log (2 3) 2 3 − + = 2 3 log + 2 3 1 + = 2 3 log + (2+ 3 ) -1 =-1. （2）原式=lg 2 （2lg 2 +lg5 ）+ (lg 2) 2lg 2 1 2 − + =lg 2 (lg2+lg5)+|lg 2 -1| =lg 2 +(1-lg 2 )=1. （3）原式= 2 1 （lg32-lg49）- 3 4 lg8 2 1 + 2 1 lg245 = 2 1 (5lg2-2lg7)- 3 4 × lg 2 2 3 + 2 1 (2lg7+lg5) = 2 5 lg2-lg7-2lg2+lg7+ 2 1 lg5= 2 1 lg2+ 2 1 lg5 = 2 1 lg(2×5)= 2 1 lg10= 2 1 . 题型 2：对数函数性质及应用. 例 2 比较下列各组数的大小. （1）log3 3 2 与 log5 5 6 ;（ 2）log1.10.7 与 log1.20.7; （3）已知 log 2 1 b＜log 2 1 a＜log 2 1 c,比较 2 b ,2a ,2c的大小关系. 解 （1）∵log3 3 2 ＜log31=0, 而 log5 5 6 ＞log51=0,∴log3 3 2 ＜log5 5 6 . (2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞ log0.71.1 log0.7 1.2 , ∴ log 1.2 1 log 1.1 1 0.7 0.7 , 即由换底公式可得 log1.10.7＜log1.20.7. 方法二 作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象. 如图所示两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7＜log1.20.7. (3)∵y= x 2 1 log 为减函数，且 b a c 2 1 2 1 2 1 log log log , ∴b＞a＞c,而 y=2x是增函数，∴2 b＞2 a＞2 c . 变式：（2009 全国卷Ⅱ理）设 3 2 3 a b c = = = log , log 3, log 2 ，则 abc 3 2 2 log 2 log 2 log 3 b c 2 2 3 3 log 3 log 2 log 3 log = a b a b c 例 3.已知函数 f（x）=log2(x2 -ax-a)在区间（-∞, 1- 3 ］上是单调递减函数. 求实数 a 的取值范围
解令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=(x-)a-÷, 由以上知g(x)的图象关于直线x=a对称且此抛物线开口向上 因为函数f(x)=1og2g(x)的底数2>1,在区间(-∞,1-]上是减函数, 所以g(x)=x2ax-a在区间(-∞,1-]上也是单调减函数,且g(x)>0. 解得2-25≤a<2.故a的取值范围是{a2-2≤a<2} 例4.已知函数f(x)=1og2x+1+10g2(x-1)+1og2(px) x-1 (1)求f(x)的定义域;(2)求f(x)的值域 解(1)f(x)有意义时,有x-1>0② 由①、②得x>1,由③得x<p,因为函数的定义域为非空数集,故p>1,f(x)的定 义域是(1,p) (2)f(x)=10g[(x+1)(px)]=l0g2[-(x-2-)2++](1<x<p), ①当1<P<p,即p>3时,0<-(x-2-+9+sP+, 10g1-(p(p+1)|≤210gp+1)-2. ②当2≤1,即1<p≤3时, 0<-(x-2-}+49+1y<2p-b∴log-(x-2 (p+1) <1+log2(p-1) 综合①②可知:当p>3时,f(x)的值域是(-∞,21og2(p+1)-2]; 当1<p≤3时,函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1 题型3:综合应用. 例5.已知函数f(x)=10gx(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞) 都有|f(x)≥1成立,试求a的取值范围
解 令 g(x)=x2 -ax-a,则 g(x)=（x- 2 a ）2 -a- 4 2 a , 由以上知 g(x）的图象关于直线 x= 2 a 对称且此抛物线开口向上. 因为函数 f(x)=log2g(x)的底数 2＞1, 在区间（-∞,1- 3 ］上是减函数， 所以 g(x)=x2 -ax-a 在区间（-∞,1- 3 ］上也是单调减函数，且 g(x)＞0. ∴ − − − − − − − (1 3) (1 3) 0 2 2 3 (1 3) 0 2 1 3 2 a a a g a ，即 解得 2-2 3 ≤a＜2. 故 a 的取值范围是{a|2-2 3 ≤a＜2}. 例 4.已知函数 f(x)=log2 1 1 − + x x +log2(x-1)+log2(p-x). （1）求 f(x)的定义域； （2）求 f(x)的值域. 解 （1）f(x)有意义时，有 − − − + 0 ③, 1 0 ②, 0 ①, 1 1 p x x x x 由①、②得 x＞1,由③得 x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故 p＞1,f(x)的定 义域是(1,p). （2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］ =log2［-（x- 2 p −1 ）2 + 4 ( 1) 2 p + ］ (1＜x＜p), ①当 1＜ 2 p −1 ＜p，即 p＞3 时， 0＜-(x- 4 ( 1) 4 ( 1) ) 2 1 2 2 2 + + + p − p p , ∴log2 + + − − − 4 ( 1) ) 2 1 ( 2 p 2 p x ≤2log2(p+1)-2. ②当 2 p −1 ≤1，即 1＜p≤3 时， ∵0＜-(x- 2( 1), 4 ( 1) ) 2 1 2 2 − + + − p p p ∴log2 + + − − − 4 ( 1) ) 2 1 ( 2 p 2 p x ＜1+log2(p-1). 综合①②可知： 当 p＞3 时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］; 当 1＜p≤3 时，函数 f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)). 题型 3：综合应用. 例 5.已知函数 f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意 x∈［3，+∞） 都有|f(x)|≥1 成立，试求 a 的取值范围
解当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0 所以,f(x)|=f(x),而f(x)=1ogx在[3,+∞)上为增函数, ∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥log3., 要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立 只要10g3≥1=1oga即可,∴1<a≤3 当0<a<1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)<0, ∴f(x)|=f(x) f(x)=1ogx在[3,+∞)上为减函数, f(x)在[3,+∞)上为增函数 对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-1og3 因此,要使|f(x)≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立,只 要-10g3≥1成立即可,∴10g3≤-1g,即≤3,…}≤a<1 综上,使|f(x)|≥1对任意x∈[3,+∞)都成立a的取值范围是(1,3]U[,1) 例6.已知函数y=log:(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数,求a的取值范围. 解因为(x)=x22ax-3在(-∞,a]上是减函数, 在[a,+∞)上是增函数,要使y=log(x22ax-3)在(-∞,-2)上是增函数, 首先必有0<a2<1,即0<a<1或1<a<0,且有{2)2得a≥-1 综上,得≤a<0或0<a<1 例7.已知函数f(x)= log+b(a>0,且a≠1,b>0) (1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性 解(1)由xb>0=(x+b)(x-b)>0.解得f(x)的定义域为(-∞,b)U(b,+∞) (2)∵f(-x)=10g(二xb)=gx+b)=kg(xb)=-(x)∴f(x)为奇函数 (3)令u(x)=x+b,则u(x)=1+2b.它在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数 ∴当0<a<1时,f(x)在(-∞,b)和(b,+∞)上是增函数 当a>1时,f(x)在(-∞,b)和(b,+∞)上是减函数
解 当 a＞1 时，对于任意 x∈［3，+∞），都有 f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而 f(x)=logax 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意 x∈［3，+∞），有 f(x)≥loga3. ， 要使|f(x)|≥1 对于任意 x∈［3，+∞）都成立. 只要 loga3≥1=logaa 即可，∴1＜a≤3. 当 0＜a＜1 时，对于 x∈［3，+∞），有 f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=logax 在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意 x∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-loga3. 因此，要使|f(x)|≥1 对于任意 x∈［3，+∞）都成立， 只 要-loga3≥1 成立即可， ∴loga3≤-1=loga a 1 ,即 a 1 ≤3,∴ 3 1 ≤a＜1. 综上，使|f(x)|≥1 对任意 x∈［3，+∞）都成立 a 的取值范围是(1，3］∪［ 3 1 ，1）. 例 6.已知函数 y=log 2 a (x2 -2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求 a 的取值范围. 解 因为 (x)=x2 -2ax-3 在(-∞,a］上是减函数， 在［a, +∞)上是增函数， 要使 y=log 2 a (x2 -2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数， 首先必有 0＜a 2＜1, 即 0＜a＜1 或-1＜a＜0,且有 − − 2, ( 2) 0, a 得 a≥- 4 1 . 综上，得- 4 1 ≤a＜0 或 0＜a＜1. 例 7.已知函数 f(x)=loga x b x b − + (a＞0,且 a≠1，b＞0). （1）求 f(x)的定义域； （2）讨论 f(x)的奇偶性；（3）讨论 f(x）的单调性. 解 （1）由 x b x b − + ＞0 (x+b)(x-b)＞0.解得 f(x)的定义域为（-∞,-b）∪(b,+∞). （2）∵f（-x）=loga( ) log ( ) log ( ) ( ), 1 f x x b x b x b x b x b x b a a = − − + = + − = − − − + − ∴f（x）为奇函数. （3）令 u（x）= x b x b − + ，则 u(x)=1+ . 2 x b b − 它在（-∞,-b）和(b,+∞)上是减函数. ∴当 0＜a＜1 时，f(x)在（-∞,-b）和(b,+∞)上是增函数； 当 a＞1 时，f(x)在（-∞,-b）和(b,+∞)上是减函数