自由落体模型8自由落体模型设一物体，自t=0时刻开始，从距地面高度H处自由下落，求物体高度函数h(t)。h(o)-H.2建立二阶常微分方程：-gdt2dhCt求通解：Cit+gt+h(t) =gt-+C22dt21给出定解条件：t=0 时,h(O)=H，h'(O)=0,求特解： 有 C2 = H, C1= 0, 所以 h(t) =-gt2 + H
7 自由落体模型 自由落体模型 设一物体，自 � = � 时刻开始，从距地面高度 � 处自由下落， 求通解： �� �� =− �� + ��，� � =− � ���� + ��� + ��， 求物体高度函数 � � 。 建立二阶常微分方程： � �� ��� =− �， 给出定解条件：� = � 时，� � = �，� ′ � = �， 求特解：有 �� = �，�� = �，所以 � � =− � ���� + �
微分方程基本概念amurT一般来说，确定n阶微分方程的特解，需要n个定解条件。若定解条件给定在某个定点时间，称柯西条件或初值条件，相应的定解问题称柯西问题或初值问题。边岱河n阶微分方程的初值问题：F()y,y', ., y(n)) = 0,(y(c) = yo, y'(c0 = y1, ", y(n-1) (a)=yn-1方程的特解作为一元函数，图形是一条曲线，称积分曲线，而通解的图形是一族曲线，称积分曲线族
8 微分方程基本概念 一般来说，确定 � 阶微分方程的特解，需要 � 个定解条件。 若定解条件给定在某个定点时间，称柯西条件或初值条件， 相应的定解问题称柯西问题或初值问题。 � 阶微分方程的初值问题： � �, �, � ′ , ⋯, � � = �， � �� = ��, � ′ �� = ��, ⋯, � �−� �� = ��−�。 方程的特解作为一元函数，图形是一条曲线，称积分曲线， 而通解的图形是一族曲线，称积分曲线族
目录微分方程的概念一阶微分方程可降阶高阶微分方程线性微分方程常系数线性微分方程微分方程数值解微分方程应用举例
9 目录 2 一阶微分方程
一阶微分方程T方程的一般形式：F(x,y,y',,yn))=0，为n阶常微分方程。一般阶数越高越难以求解，本节聚焦一阶情形：F(x,y,y)=0。即使一阶微分方程，也未必有求解公式，本节主要考虑形如y=f(x,y)且f(x,y）满足某些特殊形式的一阶常微分方程，将给出求解公式或求解的一般性方法。10
10 一阶微分方程 方程的一般形式：� �, �, � ′ , ⋯, � � = �，为 � 阶常微分方程。 一般阶数越高越难以求解，本节聚焦一阶情形：� �, �, � ′ = �。 即使一阶微分方程，也未必有求解公式， 本节主要考虑形如 � ′ = � �, � ， 且 � �, � 满足某些特殊形式的一阶常微分方程， 将给出求解公式或求解的一般性方法
可分离变量方程amurTfm)= (x))dy求解形如户中(x)仙y)的微分方程，其中中，中为连续函数，dx此类方程称为可分离变量方程。方程可变形为dy=Φ(x)dx，这一过程即为分离变量，y)等式两端同时做不定积分求原函数，有『dy=『(x)dxCa(在求解微分方程的过程中，不定积分号表示求其中一个原函数)即得到一个不含有y，仅包含变量x与y的关系式，也即得到了关于x的函数（可能为隐函数），为原方程的通解。((y)=0的常数y=yo)也是原方程的一个解。另外，使得(111
11 可分离变量方程 求解形如 �� �� = � � � � 的微分方程，其中 �, � 为连续函数， 此类方程称为可分离变量方程。 方程可变形为 � � � �� = � � ��，这一过程即为分离变量， 等式两端同时做不定积分求原函数，有 � � � �� = � � �� + �， 即得到一个不含有 � ′ ，仅包含变量 � 与 � 的关系式， 也即得到了 � 关于 � 的函数（可能为隐函数），为原方程的通解。 （在求解微分方程的过程中，不定积分号表示求其中一个原函数） 另外，使得 � � = � 的常数 � = �� 也是原方程的一个解