线性方程组 齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0 a21x1+a22x2+…+a2nxn=0 nn axu taxo t.tax=0 称为齐次线性方程组。 系数 矩阵 12 X1 AX=O A 21 22 a2n 2 方程组的 矩阵形式 2 mn
线性方程组 一、齐次线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ 0 0 0 2211 222121 2 212111 1 m m nmn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa L LLLL L L ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mm mn n n aaa aaa aaa A L MLMM L L 21 2221 2 1211 1 称为齐次线性方程组。 系数 矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n x x x X M 2 1 = OAX 方程组的 矩阵形式
齐次线性方程组解的性质 O (0,0,…0)显然是方程组的解;称为零解 若非零向量= T C1,C,……,C 是方程组的解,则称为非零解, 也称为非零解向量。 性质1:齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即: 512是解向量,则51+2也是解向量 性质2:ξ是解向量,则k也是解向量。 令V=145=0)则构成一个向量空间。称为方程组 的解空间
齐次线性方程组解的性质 T O )0,,0,0( 0 0 0 L M = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 显然是方程组的解；称为零解。 若非零向量 T n n aaa a a a ),,,( 21 2 1 L M = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ξ = 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 性质 1：齐次方程组的两个解的 和仍是方程组的解。即： ξ ,ξ 21 是解向量，则 ξ + ξ 21 也是解向量。 性质 2：ξ是解向量，则 kξ也是解向量。 令 { ξξ == OAV } 称为方程组 的解空间 。 则V 构成一个向量空间
若齐次线性方程组的解空间存在一组基51,52,…,5s,则方程组的全 部解就是k151+k252+…+k5s,这称为方程组的通解。 由此可见,要求方程组的全部解,只需求出其基。 定义:若齐次方程组的有限个解51252…5s,满足: (1)5122,…,5线性无关; (i)方程组的任一解都可由51,52,…,5线性表示 则称52…,5是齐次方程组的一个基础解系。 也就是说,我们将解空间的基称为基础解系,此时,通解就是 基础解系的线性组合,即为 k121+k 252 +…+k S5S 齐次线性方程组基础解系的求法 1行最简形矩阵:
若齐次线性方程组的解空间存在一组基 ,,,, ξ ξ 21 L ξ s 则方程组的全 部解就是 , 2211 ss ξ + kk ξ + L + k ξ 这称为方程组的通解 。 由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。 定义：若齐次方程组的有限个解 ,,,, ξ ξ 21 L ξ s 满足： i ξ ξ 21 L,,,)( ξ s线性无关； ii)( 方程组的任一解都可由ξ ξ 21 L ,,, ξ s线性表示； 则称 ξ ξ 21 L ,,, ξ s是齐次方程组的一个基础解系。 ss ξ + kk ξ 2211 + L + k ξ 齐次线性方程组基础解系的求法 也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是 基础解系的线性组合，即为： 1.行最简形矩阵：
12 n 设r(4)→r<n,且不妨设A中最左 A 21 22 a2n 上角的r阶子式不为零。则经有限 次行初等变换,矩阵A化为: m mn 10 I(n-r) 显然:A= 01…0b21…b2 )行最简形 00 m×n r(n-r) 00 00 0 AX=O与 ⅨX=O同解 00
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mm mn n n aaa aaa aaa A L MLMM L L 21 2221 2 1211 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − × 0000 0 0000 0 100 010 001 1 )( 21 )(2 11 )(1 L L MLMMLMM L L L L MLMMOMM L L L L r rnr rn rn nm bb bb bb I 显然： 设 r(A) =r < n ,且不妨设A 中最左 上角的 r 阶子式不为零。则经有限 次行初等变换，矩阵 A 化为： A ≅ I 同解。 与 OIX OAX = = 行最简形
IX=O为 +b1xr+1+…+b r(n-r) 0x1x2,,x 2+b21xr+1 +…+b2( 真未知量 n-r)n r+1,r+2 x+bn1xr+1+…+b (n-r)n 自由未知量 X1= (b1xr+1+…+b x r(n-rn X1.x x,由自由未知量 x2=-(b21x7+1+…+b2(n-)xn) r+1,r+2,…,n 惟一确定 rl r+1 n-r'n (xr+1x+2,…,xn)构成一向量空间, 其基含有n-r个向量,最简单的一组基为 5n-
= OIX 为： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +++ = +++ = +++ = + − + − + − 0 0 0 11 )( 1212 )(2 1111 )( rrr nrnr r nrn r nrnr xbx xb xbx xb xbx xb L LLLL L L ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ++−= ++−= ++−= + − + − + − ( ) ( ) ( ) 11 )( 1212 )(2 1111 )( rrr nrnr r nrn r nrnr xbx xb xbx xb xbx xb L LLLL L L r ,,, xxx 21 L 真未知量 rr n ,,, xxx ++ 21 L 自由未知量 r ,,, xxx 21 L rr n ,,, xxx ++ 21 L 由自由未知量 惟一确定 { } : ,,, 21 其基含有 个向量，最简单的一组基为 （ ）构成一向量空间， rn rr xxxV n − = ++ L rneee − ,,, 21 L