电子教案 目录 矩阵… 基本要求 内容提要 1.矩阵的定义 2.矩阵的线性运算 3.线性运算的性质 4.矩阵的乘法及其性质 222345 5.转置矩阵及其性质 6.方阵的行列式及其性质 7.逆矩阵的定义及其性质 6 8.伴随矩阵的定义及其与逆矩阵的关系 9.矩阵的初等变换 10.初等矩阵 11.利用初等变换求矩阵A的逆矩阵… 12.矩阵的秩.… 13.矩阵秩的性质及运算后的变化 14.利用初等变换求矩阵的秩 15.矩阵A与B等价 16.分块矩阵 0000 典型例题 (一)矩阵运算 10 (二)方阵可逆的判定 三)解矩阵方程
电子教案 目 录 矩阵............................................................................................................................. 2 一、基本要求..................................................................................................... 2 二、内容提要..................................................................................................... 2 1. 矩阵的定义................................................................................................... 2 2. 矩阵的线性运算............................................................................................ 2 3. 线性运算的性质............................................................................................ 3 4. 矩阵的乘法及其性质..................................................................................... 4 5. 转置矩阵及其性质 ........................................................................................ 5 6. 方阵的行列式及其性质 ................................................................................. 5 7. 逆矩阵的定义及其性质 ................................................................................. 6 8. 伴随矩阵的定义及其与逆矩阵的关系 ............................................................ 7 9. 矩阵的初等变换............................................................................................ 7 10. 初等矩阵..................................................................................................... 8 11. 利用初等变换求矩阵 A 的逆矩阵.................................................................. 9 12. 矩阵的秩..................................................................................................... 9 13. 矩阵秩的性质及运算后的变化..................................................................... 9 14. 利用初等变换求矩阵的秩.......................................................................... 10 15. 矩阵 A 与 B 等价........................................................................................ 10 16. 分块矩阵................................................................................................... 10 三、典型例题................................................................................................... 10 （一）矩阵运算............................................................................................... 10 （二）方阵可逆的判定..................................................................................... 17 （三）解矩阵方程............................................................................................ 25
矩阵 基本要求 1.理解矩阵的概念,掌握单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵及其性质: 2.熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其各种运算的规律; 3.知道方阵的行列式及其性质 4.理解逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充分必要条件,掌握矩阵求逆的方法,会用初等变 换或伴随矩阵求逆矩阵 5.熟练掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵; 6.理解矩阵的秩的概念,会求矩阵的秩 7.掌握分块矩阵的运算 、内容提要 1.矩阵的定义 由m个数排成的m行n列的矩形数表 称为m行n列的矩阵,简称为mxn矩阵其中(=12…,m,=12表示第i行第 j列的元素,i称为aj的行指标,j称为a的列指标 2.矩阵的线性运算
矩阵 一、基本要求 1. 理解矩阵的概念 , 掌握单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵及其性质； 2. 熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其各种运算的规律； 3. 知道方阵的行列式及其性质； 4. 理解逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充分必要条件 , 掌握矩阵求逆的方法 , 会用初等变 换或伴随矩阵求逆矩阵； 5. 熟练掌握矩阵的初等变换 , 了解初等矩阵； 6. 理解矩阵的秩的概念 , 会求矩阵的秩； 7. 掌握分块矩阵的运算 . 二、内容提要 1. 矩阵的定义 由 mn 个数排成的 m 行 n 列的矩形数表 m m mn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 称为 m 行 n 列的矩阵, 简称为 mn 矩阵.其中 a (i 1,2, ,m, j 1,2, , n) ij = = 表示第 i 行第 j 列的元素, i 称为 aij的行指标, j 称为 aij的列指标. 2. 矩阵的线性运算 设
b21 b, b A B 6. b 为两个m×n矩阵,k为一个数 阵的线性运算为 a1+b1a12+b2…a1n+bn A+R_a21+ b21a22+b22 a2+ k k k k ka. k 3.线性运算的性质 (1)加法交换律A+B=B+A (2)加法结合律(4+B)+C=A+(B+C) (3)零矩阵的作用A+O=0+A=A (4)负矩阵的作用4+(-4)=O 其中 A (5)1A=A (6)数乘结合律k(L)=(DA (7)分配律 k(A+B)=kA+kB
= m m mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 = m m mn n n b b b b b b b b b B 1 2 21 22 2 11 12 1 为两个 mn 矩阵, k 为一个数, 则矩阵的线性运算为 + + + + + + + + + + = m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B 1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 = m m mn n n k a k a k a k a k a k a k a k a k a k A 1 2 21 22 2 11 12 1 3. 线性运算的性质 （1）加法交换律 A + B = B + A （2）加法结合律 (A + B) + C = A + (B + C) （3）零矩阵的作用 A + O = O + A = A （4）负矩阵的作用 A + (−A) = O 其中 − − − − − − − − − − = m m mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 （5） 1A = A （6）数乘结合律 k(lA) = (kl)A （7）分配律 k(A + B) = kA+ kB
(8)分配律k+D)A=k4+l4 在线性运算的8条性质中,A,BC均为m×n矩阵,k,l为数,O为m×n阶零矩阵 并由这8条性质还可推出如下结果: (1)(-1)A=-A OA=O (3)kO=0 (4)减法的定义4-B=A+(-B) 4.矩阵的乘法及其性质 (1)矩阵乘法的定义:设 1 B 则由元素 cn=anby+a2b2y+…+ linen(=12,…,m,j=12,…,s) 组成的m×s矩阵 C 称为矩阵A与B的乘积,记为AB=C (2)矩阵乘法的性质 结合律:(4B)C=A(BC) k(AB)=(kAB= A(kB) 分配律 A(B+C)=AB+AC (A+ B)C=AC+ BC 单位矩阵的作用A=A=A
（8）分配律 (k + l)A = kA+ lA 在线性运算的 8 条性质中, A, B, C 均为 mn 矩阵, k, l 为数, O 为 mn 阶零矩阵. 并由这 8 条性质还可推出如下结果： （1） (−1)A = −A （2） 0A = O （3） kO = O （4）减法的定义 A − B = A + (−B) 4. 矩阵的乘法及其性质 （1）矩阵乘法的定义：设 = m m mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n ns s s b b b b b b b b b B 1 2 21 22 2 11 12 1 则由元素 ( 1,2, , , 1,2, , ) 1 1 2 2 c a b a b a b i m j s ij = i j + i j ++ i n nj = = 组成的 m s 矩阵 = m m ms s s c c c c c c c c c C 1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 AB = C. （2）矩阵乘法的性质 结合律： (AB)C = A(BC) k(AB) = (kA)B = A(kB) 分配律： A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC 单位矩阵的作用 IA = AI = A
5.转置矩阵及其性质 转置矩阵的定义: 如果将A的行、列交换后,所得的矩阵称为A的转置矩阵,记为A,即 22 转置矩阵的性质: (1)(4 (2)(A+B)=A+B (3)(AB)=B7 一般地,有(4…4)=11…44 (4)(k=k 两个特殊矩阵: (1)对称矩阵A=A (2)反对称矩阵A=-A 6.方阵的行列式及其性质 方阵行列式的定义:设由方阵
5. 转置矩阵及其性质 转置矩阵的定义： 设 = m m mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 如果将 A 的行、列交换后, 所得的矩阵称为 A 的转置矩阵, 记为 A T , 即 = n n mn m m T a a a a a a a a a A 1 2 12 22 2 11 21 1 转置矩阵的性质： （1） A A T T ( ) = （2） T T T (A + B) = A + B （3） T T T (AB) = B A 一般地, 有 T T T s T s T A1A2 As A A 1 A2 A1 ( ) = − （4） T T (kA) = kA 两个特殊矩阵： （1）对称矩阵 A A T = （2）反对称矩阵 A A T = − 6. 方阵的行列式及其性质 方阵行列式的定义：设由方阵